图论（一）之概念介绍与图形目录
前言
图论------这一专注于点和线之间关系的学科，如同一条独特的脉络，将无数看似孤立的领域紧密地连接在一起。
一、图论介绍
从数学建模角度来看，图论（Graph Theory）是数学的一个分支，主要研究由若干给定的点（通常称为顶点或节点）以及连接这些点的线（通常称为边）所构成的图形。这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，其中点代表事物，边表示事物之间具有的关系。
二、基本概念
2.1图的概念
图G通常表示为二元组( V ( G ) ,E ( G ))。 公式（1）是非空有限集，称为顶点集 ，其中元素称为图G的顶点。顶点（或节点、点）是图中的基本元素，用来表示不同的对象、事件或位置。
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| | 公式（1） |
公式（2）是顶点集V(G)中的无序 (无向图) 或有序 (有向图) 的两个元素组合组成的集合，即称为边集 ，其中元素称为边 。边是连接两个顶点的线，表示顶点之间的关系或连接。边可以是有向的 （单向关系），也可以是无向的（双向关系）。
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| | 公式（2） |
赋权图 ：若图G =( V ( G ) ,E ( G )) 的每一条边e都赋以一个实数w(e) ，称w(e)为边e的权，G连同边上的权称为赋权图。
2.2 图形分类
所有图论里的图都可以根据是否有向和是否加权分类。
2.3邻接矩阵
图1 四种图论基本图
2.3.1无向图
根据上图1中的无权无向图可以得出其邻接矩阵为：
2.3.2有向图
根据上图1中的无权有向图可以得出其邻接矩阵为：
2.3.3有向赋权图
根据上图1中的有权有向图可以得出其邻接矩阵为：
2.4 出度（Outdegree）
定义：由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度；解释：在有向图中，一个顶点的出度表示从这个顶点出发的边的数量；换句话说，这些边都是以该顶点为"尾"（tail），指向其他顶点作为"头"（head）。
示例：在图3中，顶点D指向顶点A和顶点C，那么顶点D的出度就是2。
2.5 入度（Indegree）
定义：指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度；解释：在有向图中，一个顶点的入度表示指向这个顶点的边的数量；这些边都是以其他顶点为"尾"，以该顶点为"头"。
3. 四种图论图形的matlab代码
Matlab
clc; clear;
%% 1. 创建无权的有向图和无向图
V = {'A', 'B', 'C', 'D'};
E = {'A' 'B'; 'B' 'C'; 'C' 'D'; 'D' ,'A'};
% 1.1 创建无权有向图
G_directed = digraph(E(:,1), E(:,2));
% 绘制图形
figure; % 只在这里调用 figure，以创建一个新的图形窗口
subplot(2,2,1);
plot(G_directed, 'Layout', 'circle', 'NodeColor', [0.5294 0.8078 0.9804], ...
'MarkerSize', 10, 'EdgeColor', 'black', 'ArrowSize', 10);
title('无权有向图');
% 获取有向图的邻接矩阵
adjacency_directed = adjacency(G_directed);
disp('无权有向图的邻接矩阵：');
disp(adjacency_directed);
% 1.2 创建无权无向图
E = {'A' 'B'; 'B' 'C'; 'C' 'D'; 'D' ,'A'};
G_undirected = graph(E(:,1), E(:,2));
subplot(2,2,2);
plot(G_undirected, 'Layout', 'circle', 'NodeColor', [0.5294 0.8078 0.9804], ...
'MarkerSize', 10, 'EdgeColor', 'black');
title('无权无向图');
% 获取无向图的邻接矩阵
adjacency_undirected = adjacency(G_undirected);
disp('无权无向图的邻接矩阵：');
disp(adjacency_undirected);
%% 2. 创建加权的有向和无向图
weights = [1, 2, 3, 4,5]; % 边的权重
% 2.1 创建有权有向图
E = {'A', 'B'; 'B', 'C'; 'C', 'D'; 'D', 'A';'D','C'};
G_weighted_directed = digraph(E(:,1), E(:,2), weights);
subplot(2,2,3);
plot(G_weighted_directed, 'Layout', 'circle', 'NodeColor', [0.5294 0.8078 0.9804], ...
'MarkerSize', 10, 'EdgeColor', 'black', 'ArrowSize', 10, 'EdgeLabel', weights);
title('加权有向图');
% 初始化邻接矩阵（全无穷大）
num_nodes = numel(V);
adjacency_matrix_weighted_directed = inf(num_nodes, num_nodes);
% 将对角线元素设置为0（节点到自身的权重为0）
% 因为这里我们不需要考虑节点到自身的边（通常默认为0或不考虑），所以这步可以省略
% 但为了保持一致性，我们还是设置它为0
adjacency_matrix_weighted_directed(logical(eye(num_nodes))) = 0;
% 填充邻接矩阵的权重
for i = 1:length(E)
source_index = find(strcmp(V, E{i, 1}), 1); % 找到源节点在V中的索引
target_index = find(strcmp(V, E{i, 2}), 1); % 找到目标节点在V中的索引
adjacency_matrix_weighted_directed(source_index, target_index) = weights(i);
end
% 显示邻接矩阵（可选）
disp('有权有向图的邻接矩阵（权重表示，无边为无穷大）：');
disp(adjacency_matrix_weighted_directed);
% 2.2 创建有权无向图
E = {'A', 'B'; 'B', 'C'; 'C', 'D'; 'D', 'A';'D','C'};
G_weighted_undirected = graph(E(:,1), E(:,2), weights);
subplot(2,2,4);
plot(G_weighted_undirected, 'Layout', 'circle', 'NodeColor', [0.5294 0.8078 0.9804], ...
'MarkerSize', 10, 'EdgeColor', 'black', 'EdgeLabel', weights);
title('加权无向图');4. 运行结果
5. 图论 应用
图论的应用范围非常广泛，涉及电信网络、电力网络、交通运输、计算机科学、控制论、人工智能、社会网络分析等多个领域。图论中的算法和理论在解决诸如最短路径问题、最小生成树问题、网络流问题等实际问题中发挥着重要作用。
6. 算法
图论算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、Dijkstra算法（用于求解最短路径问题）、Prim算法和Kruskal算法（用于求解最小生成树问题）等。这些算法在图论的理论研究和实际应用中都具有重要意义。
总结
综上所述，图论是一门研究图及其相关性质的数学分支，具有广泛的应用背景和重要的理论价值。