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引言
在数学中，线性代数提供了一套强大的工具来解决各种实际问题。本文将介绍从二元一次方程组开始，如何利用二阶行列式和克拉默法则来求解问题。
1 二元一次方程组
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组指包含两个变量的一次方程组，通常形如：
{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11 \begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases} {3x+4y=57x+9y=11
这里，3、4、7、9、5 和 11 是已知的常数，(x) 和 (y) 是需要求解的未知数。
解法概述
解决这种方程组的一种基本方法是消元法。通过适当的操作消去一个变量，简化成一个关于单个变量的方程。让我们详细说明这个过程。
示例
1. 操作步骤
首先，我们将两个方程进行变形，以便消去一个变量。
原方程组：
{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11 \begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases} {3x+4y=57x+9y=11
2. 消元法
为了消去一个变量，我们将第一个方程和第二个方程进行适当的变换。假设我们希望消去 (x)，我们可以进行如下操作：
将第一个方程乘以 7：
将第二个方程乘以 3：
{ 7 ⋅ 3 x + 7 ⋅ 4 y = 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 x + 3 ⋅ 9 y = 3 ⋅ 11 \begin{cases} 7 \cdot 3x + 7 \cdot 4y = 7 \cdot 5 \\ 3 \cdot 7x + 3 \cdot 9y = 3 \cdot 11 \end{cases} {7⋅3x+7⋅4y=7⋅53⋅7x+3⋅9y=3⋅11
两式相减，求得 y 的值
y = 7 ⋅ 5 − 3 ⋅ 11 7 ⋅ 4 − 3 ⋅ 9 y=\frac{7 \cdot 5 - 3 \cdot 11}{7 \cdot 4 - 3 \cdot 9} y=7⋅4−3⋅97⋅5−3⋅11
现在我们就想，把分子分母换成行列式写法，由此就引入了二阶行列式的写法，上面的式子可以写为这样
y = ∣ 7 3 11 5 ∣ ∣ 7 3 9 4 ∣ y = \frac{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 11 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 9 & 4 \end{vmatrix}} y= 7934 71135
最后求得 x 和 y 的值：
y = 2 x = − 1 y = 2 \\ x = -1 y=2x=−1
2 二阶行列式
引入行列式
在上面的步骤中，我们进行了方程变换和变量消去，实际上可以使用行列式的方法来简化这些步骤。
行列式定义
行列式是一种代数表达式，用于求解线性方程组。二阶行列式定义如下：
∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc acbd =ad−bc
示例计算
对于矩阵
( 3 4 7 9 ) \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} (3749)
其行列式为：
∣ 3 4 7 9 ∣ = 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 = 27 − 28 = − 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = 27 - 28 = -1 3749 =3⋅9−4⋅7=27−28=−1
3 克拉默法则
什么是克拉默法则？
克拉默法则是一种利用行列式解决线性方程组的方法。对于一个二元一次方程组：
{ 3 x + 4 y = 5 7 x + 9 y = 11 \begin{cases} 3x + 4y = 5 \\ 7x + 9y = 11 \end{cases} {3x+4y=57x+9y=11
它可以表示成矩阵形式 (AX = B)，其中：
A = ( 3 4 7 9 ) , X = ( x y ) , B = ( 5 11 ) A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} A=(3749),X=(xy),B=(511)
克拉默法则公式
克拉默法则提供了求解线性方程组的公式。可以很方便的解出 (x) 和 (y)，注意分母都是一样的：
x = ∣ 5 4 11 9 ∣ ∣ 3 4 7 9 ∣ , y = ∣ 3 5 7 11 ∣ ∣ 3 4 7 9 ∣ x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}} x= 3749 51149 ,y= 3749 37511
使用克拉默法则求解
- 计算分母：
∣ 3 4 7 9 ∣ = 3 ⋅ 9 − 4 ⋅ 7 = − 1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 4 \cdot 7 = -1 3749 =3⋅9−4⋅7=−1
- 计算 (x) 的分子：
∣ 5 4 11 9 ∣ = 5 ⋅ 9 − 4 ⋅ 11 = 45 − 44 = 1 \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix} = 5 \cdot 9 - 4 \cdot 11 = 45 - 44 = 1 51149 =5⋅9−4⋅11=45−44=1
- 计算 (y) 的分子：
∣ 3 5 7 11 ∣ = 3 ⋅ 11 − 5 ⋅ 7 = 33 − 35 = − 2 \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 11 \end{vmatrix} = 3 \cdot 11 - 5 \cdot 7 = 33 - 35 = -2 37511 =3⋅11−5⋅7=33−35=−2
- 求解：
x = 1 − 1 = − 1 x = \frac{1}{-1} = -1 x=−11=−1
y = − 2 − 1 = 2 y = \frac{-2}{-1} = 2 y=−1−2=2
4 总结
本文我们从二元一次方程组的基本求解方法开始，逐步引入了行列式，并最终介绍了克拉默法则。在实际应用中，使用行列式和克拉默法则可以简化计算过程，使得解决线性方程组更加直观和有效。