线性代数 - 从方程组到行列式

线性代数 - 从方程组到行列式

flyfish

行列式的英文是determinant ，determinant 的意思是决定因素；决定性因素

说明，对结果、发展起关键作用的人或事物。key determinant（关键决定因素）、major determinant（主要决定因素）、environmental determinants（环境决定因素）

行列式（记为 det⁡(A)\det(A)det(A) 或 ∣A∣|A|∣A∣）是仅针对方阵（行数 = 列数）定义的一个数值，行列式是一个带符号的数值。

矩阵（线性变换）会对向量做 "缩放、旋转、剪切、翻转" 等操作，而行列式是量化这些操作带来的 "面积 / 体积变化" 和 "定向变化"

简单说就是：行列式的绝对值 = 线性变换的体积 / 面积缩放倍数，符号表示定向。

先不说行列式，先说方程组

方程组

设二元线性方程组为：
{a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2) \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \quad (1) \\ a_2x + b_2y = c_2 \quad (2) \end{cases} {a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)

其中a1,a2,b1,b2a_1,a_2,b_1,b_2a1,a2,b1,b2是系数，c1,c2c_1,c_2c1,c2是常数项，我们的目标是分别消去yyy和xxx，得到只含一个未知数的一元一次方程。

一、消去yyy，得到含xxx的式子

思路：让方程(1)和(2)中yyy的系数相等，再相减抵消yyy

1. 方程(1)两边同时乘以b2b_2b2（yyy的系数互为对方的系数，确保相乘后yyy系数相同）：
   b2×(a1x+b1y)=b2×c1b_2 \times (a_1x + b_1y) = b_2 \times c_1b2×(a1x+b1y)=b2×c1

   展开得：a1b2x+b1b2y=c1b2(1′)a_1b_2x + b_1b_2y = c_1b_2 \quad (1')a1b2x+b1b2y=c1b2(1′)

2. 方程(2)两边同时乘以b1b_1b1：
   b1×(a2x+b2y)=b1×c2b_1 \times (a_2x + b_2y) = b_1 \times c_2b1×(a2x+b2y)=b1×c2

   展开得：a2b1x+b1b2y=c2b1(2′)a_2b_1x + b_1b_2y = c_2b_1 \quad (2')a2b1x+b1b2y=c2b1(2′)

3. 用(1′)−(2′)(1') - (2')(1′)−(2′)（左边减左边，右边减右边，等式仍成立）：
   (a1b2x+b1b2y)−(a2b1x+b1b2y)=c1b2−c2b1(a_1b_2x + b_1b_2y) - (a_2b_1x + b_1b_2y) = c_1b_2 - c_2b_1(a1b2x+b1b2y)−(a2b1x+b1b2y)=c1b2−c2b1

4. 化简左边（抵消yyy项）：
   a1b2x−a2b1x+(b1b2y−b1b2y)=(a1b2−a2b1)xa_1b_2x - a_2b_1x + (b_1b_2y - b_1b_2y) = (a_1b_2 - a_2b_1)xa1b2x−a2b1x+(b1b2y−b1b2y)=(a1b2−a2b1)x

   右边保持不变：c1b2−c2b1c_1b_2 - c_2b_1c1b2−c2b1

5. 最终得到只含xxx的式子：
   (a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1\boxed{(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1}(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1

二、消去xxx，得到含yyy的式子

思路：让方程(1)和(2)中xxx的系数相等，再相减抵消xxx

1. 方程(1)两边同时乘以a2a_2a2：
   a2×(a1x+b1y)=a2×c1a_2 \times (a_1x + b_1y) = a_2 \times c_1a2×(a1x+b1y)=a2×c1

   展开得：a1a2x+a2b1y=a2c1(1′′)a_1a_2x + a_2b_1y = a_2c_1 \quad (1'')a1a2x+a2b1y=a2c1(1′′)

2. 方程(2)两边同时乘以a1a_1a1：
   a1×(a2x+b2y)=a1×c2a_1 \times (a_2x + b_2y) = a_1 \times c_2a1×(a2x+b2y)=a1×c2

   展开得：a1a2x+a1b2y=a1c2(2′′)a_1a_2x + a_1b_2y = a_1c_2 \quad (2'')a1a2x+a1b2y=a1c2(2′′)

3. 用(1′′)−(2′′)(1'') - (2'')(1′′)−(2′′)（左边减左边，右边减右边）：
   (a1a2x+a2b1y)−(a1a2x+a1b2y)=a2c1−a1c2(a_1a_2x + a_2b_1y) - (a_1a_2x + a_1b_2y) = a_2c_1 - a_1c_2(a1a2x+a2b1y)−(a1a2x+a1b2y)=a2c1−a1c2

4. 化简左边（抵消xxx项）：
   (a1a2x−a1a2x)+a2b1y−a1b2y=(a2b1−a1b2)y(a_1a_2x - a_1a_2x) + a_2b_1y - a_1b_2y = (a_2b_1 - a_1b_2)y(a1a2x−a1a2x)+a2b1y−a1b2y=(a2b1−a1b2)y

   右边保持不变：a2c1−a1c2a_2c_1 - a_1c_2a2c1−a1c2

5. 整理符号（两边同乘−1-1−1，让系数与消去yyy时一致）：
   (a1b2−a2b1)y=a1c2−a2c1(a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1(a1b2−a2b1)y=a1c2−a2c1

   最终得到只含yyy的式子：
   (a1b2−a2b1)y=a1c2−a2c1\boxed{(a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1}(a1b2−a2b1)y=a1c2−a2c1

两个式子的左边系数完全相同：a1b2−a2b1a_1b_2 - a_2b_1a1b2−a2b1------这就是后来定义的二阶行列式det⁡(A)\det(A)det(A)；

当det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0det(A)=0时，才能直接解出x=c1b2−c2b1det⁡(A)x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{\det(A)}x=det(A)c1b2−c2b1、y=a1c2−a2c1det⁡(A)y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{\det(A)}y=det(A)a1c2−a2c1

消元法的是"减少未知数个数"，而行列式是对消元结果的"符号化简化"。

行列式 determinant

A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}A=[acbd]
det⁡(A)=∣abcd∣=ad−bc\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bcdet(A)= acbd =ad−bc

二维矩阵的行列式

从一个2×2矩阵开始。无论你是按行向量 还是列向量来书写这些向量，行列式的结果都是一样的。

列向量形式的行列式

例如，按列向量表示时：
∣acbd∣=ad−bc \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = ad - bc abcd =ad−bc

行向量形式的行列式

若按行向量表示，结果也不会改变：
∣abcd∣=ad−bc \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc acbd =ad−bc

计算方式的直观解释

这个结果实际上是对应平行四边形的面积。因此，无论向量如何书写，面积都不会改变。

可以通过展开式子验证：
∣acbd∣=(a+c)(b+d)−ab−cd−2bc=ab+ad+cb+dc−ab−cd−2bc=ad−bc \begin{align*} \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} &= (a+c)(b+d) - ab - cd - 2bc \\ &= ab + ad + cb + dc - ab - cd - 2bc \\ &= ad - bc \end{align*} abcd =(a+c)(b+d)−ab−cd−2bc=ab+ad+cb+dc−ab−cd−2bc=ad−bc

交换列对行列式的影响

若交换两列，行列式的值会改变符号 。例如：
∣cadb∣=cb−ad=−(ad−bc)=−∣acbd∣ \begin{vmatrix} c & a \\ d & b \end{vmatrix} = cb - ad = -(ad - bc) = -\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} cdab =cb−ad=−(ad−bc)=− abcd

例1

已知矩阵C=[−9−23−1]C = \begin{bmatrix} -9 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}C=[−93−2−1]，求∣C∣|C|∣C∣。
解答 ：我们需要求上述2×2矩阵的行列式。使用公式计算行列式，过程如下：
det⁡(C)=∣C∣=∣−9−23−1∣=(−9)×(−1)−(−2)×3=9+6=15 \det(C) = |C| = \begin{vmatrix} -9 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-9)×(-1) - (-2)×3 = 9 + 6 = 15 det(C)=∣C∣= −93−2−1 =(−9)×(−1)−(−2)×3=9+6=15

例2

已知∣1x82∣=34\begin{vmatrix} 1 & x \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = 34 18x2 =34，求xxx。
解答 ：已知行列式值，需要求元素xxx。将其代入公式并求解xxx：
∣1x82∣=34  ⟹  (1)×(2)−(x)×(8)=34  ⟹  2−8x=34  ⟹  −8x=34−2  ⟹  −8x=32  ⟹  x=−4 \begin{vmatrix} 1 & x \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = 34 \implies (1)×(2) - (x)×(8) = 34 \implies 2 - 8x = 34 \implies -8x = 34 - 2 \implies -8x = 32 \implies x = -4 18x2 =34⟹(1)×(2)−(x)×(8)=34⟹2−8x=34⟹−8x=34−2⟹−8x=32⟹x=−4

可视化

det⁡([4224])=4∗4−2∗2=12\det( \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} ) = 4*4 - 2*2 = 12det([4224])=4∗4−2∗2=12

det⁡([2−24−4])=2∗(−4)−4∗(−2)=0\det( \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} ) = 2*(-4) - 4*(-2) = 0det([24−2−4])=2∗(−4)−4∗(−2)=0