0、前言
动态矩阵控制（Dynamic Matrix Control，DMC）是一种典型的模型预测控制方法，其不需要被控对象的数学模型，只需要获取被控对象的阶跃响应序列即可实现控制效果，但其需要被控对象是渐近稳定的。
1、稳定 SISO 系统的阶跃响应模型
考虑单输入单输出（Signal Input Signal Output，SISO）系统，其传递函数为
G ( s ) = y ( s ) u ( s ) (1) G(s)=\frac{y(s)}{u(s)}\tag{1} G(s)=u(s)y(s)(1)
首先考虑当输入不变时，系统的非零初始状态响应
如图所示（系统过渡过程时间为 N N N 个采样间隔）
系统在 k + N − 2 k+N-2 k+N−2 以后进入稳态，输出保持不变，定义 k − 1 k-1 k−1 时刻的未来 N N N 步输出为
Y ( k − 1 ) = { [ y ( k − 1 ) y ( k ) ⋯ y ( k + N − 3 ) y ( k + N − 2 ) ] T Δ u ( k + i ) = 0 , i = − 1 , 0 , ⋯ , N − 2 } (2) Y(k-1)=\Bigg\lbrace \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} y(k-1) & y(k) & \cdots & y(k+N-3) & y(k+N-2)\\ \end{matrix} \right]^T\\[2ex] \Delta u(k+i)=0,\quad i=-1,0,\cdots,N-2 \end{matrix} \Bigg\rbrace\tag{2} Y(k−1)={[y(k−1)y(k)⋯y(k+N−3)y(k+N−2)]TΔu(k+i)=0,i=−1,0,⋯,N−2}(2)
我们称 Y ( k − 1 ) Y(k-1) Y(k−1) 为系统在 k − 1 k-1 k−1 时刻的 " 状态 "。它的物理意义为：在输入不变条件下系统的非零初始状态响应的 N N N 步输出，即系统无外部输入的 " 自由响应 " 的 N N N 步输出为状态变量的 N N N 个分量。
因此定义 k k k 时刻的状态变量为
Y ( k ) = { [ y ( k ) y ( k + 1 ) ⋯ y ( k + N − 2 ) y ( k + N − 1 ) ] T Δ u ( k + i ) = 0 , i = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 } (3) Y(k)=\Bigg\lbrace \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} y(k) & y(k+1) & \cdots & y(k+N-2) & y(k+N-1)\\ \end{matrix} \right]^T\\[2ex] \Delta u(k+i)=0,\quad i=0,1,\cdots,N-1 \end{matrix} \Bigg\rbrace\tag{3} Y(k)={[y(k)y(k+1)⋯y(k+N−2)y(k+N−1)]TΔu(k+i)=0,i=0,1,⋯,N−1}(3)
当 Δ u ( k − 1 ) = 0 \Delta u(k-1)=0 Δu(k−1)=0 时 Y ( k ) Y(k) Y(k) 与 Y ( k − 1 ) Y(k-1) Y(k−1) 之间的关系为
Y ( k ) = M s s Y ( k − 1 ) (4) Y(k)=M_{ss}Y(k-1)\tag{4} Y(k)=MssY(k−1)(4)
其中
M s s = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 1 ] (5) M_{ss}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ \end{matrix} \right]\tag{5} Mss= 00⋮0010⋮0001⋮00⋯⋯⋯⋯00⋮0000⋮11 (5)
这就是稳定 SISO 系统的不变输入非零初始状态响应。
接着考虑当初始状态为零时，系统的输入响应
在系统平衡状态下做一个单位阶跃响应实验，得到系统的输出响应如图所示。
采样得到系统零初始条件下单位阶跃响应序列为
{ 0 , s 1 , s 2 , ⋯ , s N , s N , ⋯ } (6) \lbrace 0,s_1,s_2,\cdots,s_N,s_N,\cdots\rbrace\tag{6} {0,s1,s2,⋯,sN,sN,⋯}(6)
由线性系统的齐次性，对任意的输入变化 Δ u ( k − 1 ) \Delta u(k-1) Δu(k−1)，系统的响应序列为
{ 0 , s 1 , s 2 , ⋯ , s N , s N , ⋯ } ⋅ Δ u ( k − 1 ) (6) \lbrace 0,s_1,s_2,\cdots,s_N,s_N,\cdots\rbrace\cdot\Delta u(k-1)\tag{6} {0,s1,s2,⋯,sN,sN,⋯}⋅Δu(k−1)(6)
记单位阶跃响应系数矩阵为
S = [ s 1 s 2 ⋮ s N ] N × 1 (7) S=\left[ \begin{matrix} s_1 \\[1ex] s_2 \\[1ex] \vdots \\[1ex] s_N \\ \end{matrix} \right]_{N\times 1}\tag{7} S= s1s2⋮sN N×1(7)
则零初始状态下，系统对任意输入的响应可以描述为
Y ( k ) = S Δ u ( k − 1 ) (8) Y(k)=S\Delta u(k-1)\tag{8} Y(k)=SΔu(k−1)(8)
由于线性系统满足叠加性，因此，由（4）和（8）得到，在非零初始状态下系统对任意输入变化的响应为
Y ( k ) = M s s Y ( k − 1 ) + S Δ u ( k − 1 ) (9) \boxed{Y(k)=M_{ss}Y(k-1)+S\Delta u(k-1)}\tag{9} Y(k)=MssY(k−1)+SΔu(k−1)(9)
其中初始条件为
Y ( 0 ) = [ y ( 0 ) ⋮ y ( 0 ) ] N × 1 (10) Y(0)=\left[ \begin{matrix} y(0) \\[1ex] \vdots \\[1ex] y(0) \\ \end{matrix} \right]_{N\times 1}\tag{10} Y(0)= y(0)⋮y(0) N×1(10)
而系统在 k k k 时刻的输出为
y ( k ) = C Y ( k ) (11) \boxed{y(k)=CY(k)}\tag{11} y(k)=CY(k)(11)
其中
C = [ 1 0 ⋯ 0 ] 1 × N (12) C=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{matrix} \right]_{1\times N}\tag{12} C=[10⋯0]1×N(12)
综上，（9）和（11）就是系统的单位阶跃响应模型。
2、SISO 系统的动态矩阵控制（DMC）
2.1、被控系统描述
如图所示为被控系统， u u u 为控制输入， y y y 为输出， d d d 为可以测量的外部干扰， w w w 为不能测量的外部干扰， P u P_u Pu 为输入 u u u 到输出 y y y 的传递函数， P d P_d Pd 为可测量干扰 d d d 到输出 y y y 的传递函数。设控制输入 u u u 和可测量干扰 d d d 对输出 y y y 的单位阶跃响应系数矩阵分别为
S u = [ s 1 u s 2 u ⋮ s N u ] , S d = [ s 1 d s 2 d ⋮ s N d ] , (13) S_u=\left[ \begin{matrix} s_1^u \\[1ex] s_2^u \\[1ex] \vdots \\[1ex] s_N^u \\ \end{matrix} \right],\quad S_d=\left[ \begin{matrix} s_1^d \\[1ex] s_2^d \\[1ex] \vdots \\[1ex] s_N^d \\ \end{matrix} \right], \tag{13} Su= s1us2u⋮sNu ,Sd= s1ds2d⋮sNd ,(13)
由于线性系统满足齐次性和叠加性，因此，由（9）可以得出带可测干扰的单位阶跃响应模型为
Y ( k ) = M s s Y ( k − 1 ) + S u Δ u ( k − 1 ) + S d Δ d ( k − 1 ) y ( k ) = C Y ( k ) (14) \begin{aligned} Y(k)&=M_{ss}Y(k-1)+S_u\Delta u(k-1)+S_d\Delta d(k-1)\\[1ex] y(k)&=CY(k)\tag{14} \end{aligned} Y(k)y(k)=MssY(k−1)+SuΔu(k−1)+SdΔd(k−1)=CY(k)(14)
2.2、状态估计
由于单位阶跃响应模型（14）的状态不是全部可以测量的（只有第一个分量是可以测量的）。因此，需要对状态进行估计，用估计的状态作为初始条件预测系统未来的动态。
在 k − 1 k-1 k−1 时刻，由（14）计算 k k k 时刻的状态，记为 Y ( k ∣ k − 1 ) Y(k|k-1) Y(k∣k−1)，即
Y ( k ∣ k − 1 ) = M s s Y ^ ( k − 1 ) + S u Δ u ( k − 1 ) + S d Δ d ( k − 1 ) (15) Y(k|k-1)=M_{ss}\hat Y(k-1)+S_u\Delta u(k-1)+S_d\Delta d(k-1)\tag{15} Y(k∣k−1)=MssY^(k−1)+SuΔu(k−1)+SdΔd(k−1)(15)
其中， Y ^ ( k − 1 ) \hat Y(k-1) Y^(k−1) 是 k − 1 k-1 k−1 时刻对状态的估计。计算 k k k 时刻的输出为
y ( k ∣ k − 1 ) = C Y ( k ∣ k − 1 ) (16) y(k|k-1) = CY(k|k-1)\tag{16} y(k∣k−1)=CY(k∣k−1)(16)
在 k k k 时刻的测量值为 y ( k ) y(k) y(k)，与计算值之差为 y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) y(k)-y(k|k-1) y(k)−y(k∣k−1)。以这个误差作为校正量，得到校正后的状态分量如下：
y ^ ( k ∣ k ) = y ( k ∣ k − 1 ) + [ y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) ] , y ^ ( k + 1 ∣ k ) = y ( k + 1 ∣ k − 1 ) + [ y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) ] , ⋮ , y ^ ( k + N − 1 ∣ k ) = y ( k + N − 1 ∣ k − 1 ) + [ y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) ] . (17) \begin{aligned} \hat y(k|k) & = y(k|k-1) + [y(k)-y(k|k-1)],\\[1ex] \hat y(k+1|k) & = y(k+1|k-1) + [y(k)-y(k|k-1)],\\[1ex] \vdots,\\[1ex] \hat y(k+N-1|k) & = y(k+N-1|k-1) + [y(k)-y(k|k-1)]. \end{aligned}\tag{17} y^(k∣k)y^(k+1∣k)⋮,y^(k+N−1∣k)=y(k∣k−1)+[y(k)−y(k∣k−1)],=y(k+1∣k−1)+[y(k)−y(k∣k−1)],=y(k+N−1∣k−1)+[y(k)−y(k∣k−1)].(17)
记
Y ^ ( k ) = [ y ^ ( k ∣ k ) y ^ ( k + 1 ∣ k ) ⋮ y ^ ( k + N − 1 ∣ k ) ] N × 1 (18) \hat Y(k)=\left[ \begin{matrix} \hat y(k|k)\\[1ex] \hat y(k+1|k)\\[1ex] \vdots\\[1ex] \hat y(k+N-1|k) \end{matrix} \right]_{N\times 1}\tag{18} Y^(k)= y^(k∣k)y^(k+1∣k)⋮y^(k+N−1∣k) N×1(18)
则上式变为
Y ^ ( k ) = Y ( k ∣ k − 1 ) + K I ( y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) ) , 其中 K I = [ 1 ⋮ 1 ] N × 1 (19) \hat Y(k) = Y(k|k-1) + K_I\big(y(k)-y(k|k-1)\big),\quad 其中\quad K_I=\left[ \begin{matrix} 1\\ \vdots\\[1ex] 1\\ \end{matrix} \right]_{N\times 1}\tag{19} Y^(k)=Y(k∣k−1)+KI(y(k)−y(k∣k−1)),其中KI= 1⋮1 N×1(19)
将（15）和（16）代入（19），得
Y ^ ( k ) = Y ( k ∣ k − 1 ) + K I ( y ( k ) − y ( k ∣ k − 1 ) ) = ( I − K I C ) Y ( k ∣ k − 1 ) + K I y ( k ) = ( I − K I C ) M s s Y ^ ( k − 1 ) + K I y ( k ) + ( I − K I C ) S u Δ u ( k − 1 ) + ( I − K I C ) S d Δ d ( k − 1 ) (20) \begin{aligned} \hat Y(k) &= Y(k|k-1) + K_I\big(y(k)-y(k|k-1)\big)\\[1ex] &=(I-K_IC)Y(k|k-1) + K_Iy(k)\\[1ex] &=(I-K_IC)M_{ss}\hat Y(k-1) + K_Iy(k)+(I-K_IC)S_u\Delta u(k-1)+(I-K_IC)S_d\Delta d(k-1)\\[1ex] \end{aligned}\tag{20} Y^(k)=Y(k∣k−1)+KI(y(k)−y(k∣k−1))=(I−KIC)Y(k∣k−1)+KIy(k)=(I−KIC)MssY^(k−1)+KIy(k)+(I−KIC)SuΔu(k−1)+(I−KIC)SdΔd(k−1)(20)
这是一个典型的状态估计器方程，其中
( I − K I C ) M s s = [ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 − 1 1 0 ⋯ 0 0 − 1 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 − 1 0 0 ⋯ 1 0 − 1 0 0 ⋯ 1 ] N × N (21) (I-K_IC)M_{ss}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\[1ex] 0 & -1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\[1ex] 0 & -1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\[1ex] \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\[1ex] 0 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\[1ex] 0 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{matrix} \right]_{N\times N}\tag{21} (I−KIC)Mss= 000⋮000−1−1⋮−1−1010⋮00001⋮00⋯⋯⋯⋯⋯000⋮11 N×N(21)
可以证明， ( I − K I C ) M s s (I-K_IC)M_{ss} (I−KIC)Mss 的所有特征值均位于单位圆内，因此，估计器（20）是名义渐近稳定的。
3、预测方程
采用 基于状态空间模型的无约束预测控制 相同的方法推导预测方程。
对系统未来 p p p 步输出的预测可以由下面的预测方程计算：
Y p ( k + 1 ∣ k ) = M Y ^ ( k ) + S u Δ U ( k ) + S d Δ d ( k ) Y_p(k+1|k)={\cal M}\hat Y(k)+{\cal S_u}\Delta U(k) + {\cal S_d}\Delta d(k) Yp(k+1∣k)=MY^(k)+SuΔU(k)+SdΔd(k)
其中，
M = [ 0 C c 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 C c 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 C c ⋯ 0 ⋯ 0 ] p × N S d = [ C c S 1 d C c S 2 d ⋮ C c S p d ] p × 1 S u = [ C c S 1 u 0 0 ⋯ 0 C c S 2 u C c S 1 u 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ C c S m u C c S m − 1 u ⋯ ⋯ C c S 1 u ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ C c S p u C c S p − 1 u ⋯ ⋯ C c S p − m + 1 u ] p × m \begin{aligned} &{\cal M}=\left[ \begin{matrix} \pmb 0 & \pmb C_c & \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb 0 &\cdots & \pmb 0 &\cdots & \pmb 0\\[1ex] \pmb 0 & \pmb 0 & \pmb C_c & \pmb 0 & \pmb 0 &\cdots & \pmb 0 &\cdots & \pmb 0\\[1ex] \vdots & \vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \vdots & & \vdots\\[1ex] \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 & \pmb C_c &\cdots & \pmb 0 &\cdots & \pmb 0\\ \end{matrix} \right]{p\times N}\\ &{\cal S_d}=\left[ \begin{matrix} \pmb C_c\pmb S_1^d\\[1ex] \pmb C_c\pmb S_2^d\\[1ex] \vdots\\[1ex] \pmb C_c\pmb S_p^d\\ \end{matrix} \right]{p\times1}\\ &{\cal S_u}=\left[ \begin{matrix} \pmb C_c\pmb S_1^u & \pmb 0 & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\[1ex] \pmb C_c\pmb S_2^u & \pmb C_c\pmb S_1^u & \pmb 0 & \cdots & \pmb 0 \\[1ex] \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\[1ex] \pmb C_c\pmb S_m^u & \pmb C_c\pmb S_{m-1}^u & \cdots & \cdots & \pmb C_c\pmb S_{1}^u \\[1ex] \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\[1ex] \pmb C_c\pmb S_p^u & \pmb C_c\pmb S_{p-1}^u & \cdots & \cdots & \pmb C_c\pmb S_{p-m+1}^u \\[1ex] \end{matrix} \right]_{p\times m} \end{aligned} M= 00⋮0Cc0⋮00Cc⋮⋯00⋮000⋮Cc⋯⋯⋮⋯00⋮0⋯⋯⋯00⋮0 p×NSd= CcS1dCcS2d⋮CcSpd p×1Su= CcS1uCcS2u⋮CcSmu⋮CcSpu0CcS1u⋮CcSm−1u⋮CcSp−1u00⋮⋯⋮⋯⋯⋯⋯⋯00⋮CcS1u⋮CcSp−m+1u p×m