- [Leetcode 3193. Count the Number of Inversions](#Leetcode 3193. Count the Number of Inversions)
- [1. 解题思路](#1. 解题思路)
- [2. 代码实现](#2. 代码实现)
1. 解题思路
这一题的话我的思路核心还是动态规划，因此核心就是迭代关系如何构建。
我们定义 f ( n , k ) f(n, k) f(n,k)表示将1到 n n n一共n个元素进行排列，一共有 k k k个逆序pair的排列数目。我们考察 f ( n + 1 , k ) f(n+1, k) f(n+1,k)的构造方式。
一种直接的构造就是基于 f ( n , k ) f(n,k) f(n,k)，我们考虑如何加入元素 n + 1 n+1 n+1即可。如果将 n + 1 n+1 n+1放到最后一个元素，则必然有 k k k个序列pair，如果要有 k + p k+p k+p个逆序pair，那么我们基于 f ( n , k ) f(n,k) f(n,k)当中的任意排列进行改造，只需要将元素 n − p n-p n−p放置到最后一个元素，然后将所有原序列当中所有大于等于 n − p n-p n−p的元素加1，就可以保持前 n n n个元素依然保持 k k k个逆序pair，而总的 n + 1 n+1 n+1个元素有 k + p k+p k+p的逆序pair。
综上，我们即可整理得到迭代关系：
f ( n + 1 , k ) = ∑ i = m a x ( 0 , k − n ) k f ( n , i ) f(n+1, k) = \sum\limits_{i = \mathop{max}(0, k-n)}^{k} f(n, i) f(n+1,k)=i=max(0,k−n)∑kf(n,i)
我们将其翻译为代码语言并加入限制条件即可。
2. 代码实现
给出python代码实现如下：
python
MOD = 10**9+7
class Solution:
def numberOfPermutations(self, n: int, requirements: List[List[int]]) -> int:
requirements = sorted(requirements)
rq = {ed: cnt for ed, cnt in requirements}
@lru_cache(None)
def dp(idx, cnt):
if idx == 0:
return 1 if cnt == 0 else 0
elif cnt > idx * (idx+1) // 2 or cnt < 0:
return 0
elif idx in rq and cnt != rq[idx]:
return 0
elif idx-1 in rq:
return dp(idx-1, rq[idx-1]) if cnt-idx <= rq[idx-1] <= cnt else 0
ans = 0
for pre_cnt in range(cnt-idx, cnt+1):
ans += dp(idx-1, pre_cnt)
return ans % MOD
ed, cnt = requirements[-1]
ans = dp(ed, cnt)
return ans提交代码评测得到：耗时8757ms，占用内存116.3MB。