Leetcode 3193. Count the Number of Inversions

Espresso Macchiato2024-06-24 21:42

[Leetcode 3193. Count the Number of Inversions](#Leetcode 3193. Count the Number of Inversions)
- [1. 解题思路](#1. 解题思路)
- [2. 代码实现](#2. 代码实现)

题目链接：3193. Count the Number of Inversions

1. 解题思路

这一题的话我的思路核心还是动态规划，因此核心就是迭代关系如何构建。

我们定义 f ( n , k ) f(n, k) f(n,k)表示将1到 n n n一共n个元素进行排列，一共有 k k k个逆序pair的排列数目。我们考察 f ( n + 1 , k ) f(n+1, k) f(n+1,k)的构造方式。

一种直接的构造就是基于 f ( n , k ) f(n,k) f(n,k)，我们考虑如何加入元素 n + 1 n+1 n+1即可。如果将 n + 1 n+1 n+1放到最后一个元素，则必然有 k k k个序列pair，如果要有 k + p k+p k+p个逆序pair，那么我们基于 f ( n , k ) f(n,k) f(n,k)当中的任意排列进行改造，只需要将元素 n − p n-p n−p放置到最后一个元素，然后将所有原序列当中所有大于等于 n − p n-p n−p的元素加1，就可以保持前 n n n个元素依然保持 k k k个逆序pair，而总的 n + 1 n+1 n+1个元素有 k + p k+p k+p的逆序pair。

综上，我们即可整理得到迭代关系：

f ( n + 1 , k ) = ∑ i = m a x ( 0 , k − n ) k f ( n , i ) f(n+1, k) = \sum\limits_{i = \mathop{max}(0, k-n)}^{k} f(n, i) f(n+1,k)=i=max(0,k−n)∑kf(n,i)

我们将其翻译为代码语言并加入限制条件即可。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

python 复制代码

MOD = 10**9+7

class Solution:
    def numberOfPermutations(self, n: int, requirements: List[List[int]]) -> int:
        requirements = sorted(requirements)
        rq = {ed: cnt for ed, cnt in requirements}
        
        @lru_cache(None)
        def dp(idx, cnt):
            if idx == 0:
                return 1 if cnt == 0 else 0
            elif cnt > idx * (idx+1) // 2 or cnt < 0:
                return 0
            elif idx in rq and cnt != rq[idx]:
                return 0
            elif idx-1 in rq:
                return dp(idx-1, rq[idx-1]) if cnt-idx <= rq[idx-1] <= cnt else 0
            ans = 0
            for pre_cnt in range(cnt-idx, cnt+1):
                ans += dp(idx-1, pre_cnt)
            return ans % MOD
        
        ed, cnt = requirements[-1]
        ans = dp(ed, cnt)
        return ans

提交代码评测得到：耗时8757ms，占用内存116.3MB。