【动态规划-状态机模型】:大盗阿福、股票买卖Ⅳ、股票买卖Ⅴ、设计密码【已更新完成】

题目 类型
大盗阿福 状态机模型
股票买卖Ⅳ 状态机模型
股票买卖Ⅴ 状态机模型
设计密码 状态机模型

1、大盗阿福

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高,阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 N 家店铺,每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知,只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时,街上的报警系统才会启动,然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗,阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道,在不惊动警察的情况下,他今晚最多可以得到多少现金?

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输入格式 
输入的第一行是一个整数 T ,表示一共有 T  组数据。
 
接下来的每组数据,第一行是一个整数 N  ,表示一共有 N  家店铺。
 
第二行是 N  个被空格分开的正整数,表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过1000。
 
输出格式 
对于每组数据,输出一行。
 
该行包含一个整数,表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
 
数据范围 
1≤T≤50 , 1≤N≤105

输入样例: 
2 
3 
1 8 2 
4 
10 7 6 14 
输出样例: 
8 
24 
样例解释 
对于第一组样例,阿福选择第2家店铺行窃,获得的现金数量为8。
对于第二组样例,阿福选择第1和4家店铺行窃,获得的现金数量为10+14=24。

思路:

f[i][j]表示对于前i个店铺,j表示偷或者不偷,所产生的价值的集合,属性:最大值
每个店铺有两个状态:0和1分别表示不偷和偷,两个状态相互转换

两个状态:
第i个店铺被偷可以由第i-1个店铺不被偷转换过来
第i个店铺不被偷可以由第i-1个店铺偷或者不被偷转换过来

状态转移方程:

cpp 复制代码
            f[i][0] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int t;

int n;

const int N=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;

int a[N];

int f[N][2];//f[i][j]中,i代表前i个金店的方案,j为1表示偷,j为0表示不偷

//转移方程:
//fi,1=fi−1,0+wi
//fi,0=max(fi−1,1,fi−1,0)

int main()
{
    cin>>t;

    while(t--)
    {
        cin>>n;

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];//输入每家金店的现金数量
        }

        //dp
        f[0][0]=0;
        f[0][1]=0;

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][0]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
        }

         cout << max(f[n][0], f[n][1]) << endl;
    }

    return 0;
}

2、股票买卖Ⅳ

给定一个长度为 N 的数组,数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润,你最多可以完成 k 笔交易。

注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。一次买入卖出合为一笔交易。

cpp 复制代码
输入格式 第一行包含整数 N  和 k ,表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。

第二行包含 N  个不超过 10000  的非负整数,表示完整的数组。

输出格式 输出一个整数,表示最大利润。

数据范围 
1≤N≤105 , 1≤k≤100 
输入样例1: 
3  2 
2 4 1 
输出样例1: 
2 
输入样例2:
6 2 
3 2 6 5 0 3 
输出样例2: 
7 
样例解释 样例1:在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 2 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

样例2:在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2
= 4 。随后,在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入,在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7. 

思路:

f[i][j][k]表示前i天,交易次数为j,股票持有状态为k的方案的获得的价值(状态k == 0的时候,相当于完成了j笔交易,状态k == 1的时候,相当于正在进行第j笔交易)
属性:最大值
状态机表示:
空仓状态可以由持仓状态和空仓状态转移过来
持仓状态可以由持仓状态和空仓状态转移过来
注意卖出后才相当于一次交易

cpp 复制代码
			//空仓状态
	        f[i][j][0]=max(f[i-1][j][1]+a[i],f[i-1][j][0]);
	        //持仓状态
	        f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-a[i]);//卖出才构成一次完整的股票交易,所以从j-1开始转移

对于持仓状态转移方程的解释:

cpp 复制代码
 f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-a[i]);

可以从第j笔交易中的持仓状态转移过来,如果从持仓状态转移过来,可以直接在i-1天直接转移过来
如果从空仓转移过来,那需要买股票,意味着新的一笔交易开始了,j就相当于那一笔新的交易,那么上次空仓的状态(k == 0,如上文所述,状态k 0的时候,相当于完成了j笔交易,状态k == 1的时候,相当于正在进行第j笔交易)就相当于完成了j-1次交易,那就从j-1笔交易的状态转移过来

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+3;

int n,k;

int a[N];

int f[N][103][2];

int main()
{
	cin>>n>>k;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}//读入股票在第i天的价格
	
	
	memset(f,-0x3f,sizeof f);
	
	for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0][0]=0;//从0开始初始化
	
	//dp
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	    for(int j=1;j<=k;j++)
	    {
	        //空仓状态
	        f[i][j][0]=max(f[i-1][j][1]+a[i],f[i-1][j][0]);
	        //持仓状态
	        f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-a[i]);//卖出才构成一次完整的股票交易,所以从j-1开始转移
	    }
	}
	int res=0;
	for(int i=1;i<=k;i++)res=max(res,f[n][i][0]);
	
	cout<<res;
	return 0;
}

3、股票买卖Ⅴ

给定一个长度为 N 的数组,数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下,你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票):

你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。 卖出股票后,你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

cpp 复制代码
  输入格式
  第一行包含整数 N ,表示数组长度。
  
  第二行包含 N  个不超过 10000  的正整数,表示完整的数组。
  
  输出格式    
  输出一个整数,表示最大利润。
 
  数据范围 
  1≤N≤105 
  输入样例:
  5 
  1 2 3 0 2 
  输出样例: 
  3 
  样例解释 
  对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出],第一笔交易可得利润 2-1 = 1,第二笔交易可得利润 2-0 = 2,共得利润 1+2 = 3。

思路:

这时候要用到三个状态了(前两题都是两个状态)

状态表示:
f[N][K]表示前i天的状态为k表示的价值的集合
属性:最大值
三个状态分别为:冷却期(不能买东西)、空仓期(空仓大于等于两天的情况,也是本题状态的入口,因为一开始也是可以直接买股票的)、持仓期

初始化:
把所有的状态都初始化为非法的(负无穷),只有一个合法状态那就是入口
用2表示空仓期、1表示冷却期、0表示持仓期

状态转移方程:

cpp 复制代码
		//空仓一天的情况
		f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];//上一支股票的持仓状态卖出  
		
		//空仓二天以及以上的情况 
		f[i][2]=max(f[i-1][2],f[i-1][1]);
		
		//持仓的情况 
		f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]-w[i]);

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=1e5+3;

int w[N];

int n,m;

int f[N][3];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&w[i]);
	}
	
	//dp
	int res=0;
	memset(f,-0x3f,sizeof f);
	
	
	f[0][2]=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		
		//空仓一天的情况
		f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];//上一支股票的持仓状态卖出  
		
		//空仓二天以及以上的情况 
		f[i][2]=max(f[i-1][2],f[i-1][1]);
		
		//持仓的情况 
		f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]-w[i]);
		
		//cout<<f[i][0]<<" "<<f[i][2]<<" "<<f[i][1]<<endl;
		
		//res=max(f[i][2],f[i][1]);
		
	}
	
	cout<<max(f[n][2],f[n][1]);

	//cout<<res;
	return 0;
}  

4、设计密码

你现在需要设计一个密码 S ,S 需要满足:

S 的长度是 N ; S 只包含小写英文字母; S 不包含子串 T ; 例如:abc 和 abcde 是 abcde

的子串,abd 不是 abcde 的子串。

请问共有多少种不同的密码满足要求?

由于答案会非常大,请输出答案模 109+7 的余数。

cpp 复制代码
输入格式 
第一行输入整数N,表示密码的长度。

第二行输入字符串T,T中只包含小写字母。

输出格式 
输出一个正整数,表示总方案数模 109+7  后的结果。

数据范围 
1≤N≤50 , 1≤|T|≤N ,|T| 是T 的长度。

输入样例1: 
2 a 
输出样例1: 
625 
输入样例2: 
4 cbc 
输出样例2: 
456924

思路:

即密码串中不能包含给定的模式串
结合kmp算法可得,若模式串的长度为m,则对于每一位密码总共有26种允许的(但不一定存在的)匹配状态
分别为不和子串有任何匹配(0表示不匹配)、匹配到第一个位置、匹配到第二个位置...匹配到第m-1个位置(因为匹配到m就包含这个模式串了,所以说不能匹配到第m个位置)

f[i][j]表示已经生成i位密码,匹配到模式串的位置为j(0表示不匹配)的状态的方案数量

步骤:
1、先处理出模式串的next表
2、进行状态机的转换

代码:

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=53;

int f[N][N];

int ne[N];//next数组 

char str[N];//字串 

const int mod=1e9+7;

int main()
{
	int n,m;
	
	cin>>n>>str+1;
	
	m=strlen(str+1);
	
	//kmp求next表模板
	for(int i=2,j=0;i<=m;i++)
	{
		//不匹配的情况 
		while(j && str[j+1]!=str[i])
		{
			j=ne[j]; 
		}
		 
		//匹配的话则最大公共前后缀+1
		if(str[j+1]==str[i])j++;
		
		//给next表赋值 
		ne[i]=j; 
	} 
	
	//dp+状态机 
	f[0][0]=1;//已经匹配了0位,且匹配到的字符串位置(状态)是0的方案数
	
	for(int i=0;i<n;i++)//枚举密码位 
	{
		for(int j=0;j<m;j++)//枚举第i位密码在模板串中的位置	
		{
			for(int k='a';k<='z';k++)//枚举第i+1位的字符
			{
				//匹配过程:寻找当第i+1的位置是k时,并且密码已经生成了第i位,已经匹配的子串的位置是j时,能跳到哪个位置
				int u=j;
				while(u && str[u+1]!=k)u=ne[u];		
				
				if(str[u+1]==k)u++;
				if(u<m)f[i+1][u]=(f[i+1][u]+f[i][j])%mod;//因为不能包含字串,所以不能等于m
			} 
		} 
	} 
	
	int res=0;
	for(int i=0;i<m;i++) res=(res+f[n][i])%mod;
    //将所有的方案数加起来即为总方案数
    printf("%d",res);
	
	return 0;
}
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