单调队列优化DP——AcWing 135. 最大子序和

单调队列优化DP

定义

单调队列优化DP是一种在动态规划（Dynamic Programming, DP）中应用的数据结构优化方法。它利用单调队列（Monotonic Queue）这一数据结构来高效维护一个区间内的最值（通常是最大值或最小值），从而减少DP状态的计算量，提升算法效率。单调队列内部保持元素的单调性（递增或递减），并能快速地在队列头部获取区间最值，同时在队列尾部进行元素的插入与删除以维持单调性。

运用情况

区间最大/最小值问题：如求一个序列中所有长度为k的子数组中的最大值最小化（或最小值最大化）问题。
滑动窗口问题：如寻找一个长度为k的子序列，使其和最大。
动态规划状态优化：在某些动态规划问题中，状态转移依赖于前i个元素中的最大值或最小值，这时可以使用单调队列来避免直接遍历前i个元素。

注意事项

维护单调性：确保队列中的元素按照所需的单调性排列（递增或递减），这是单调队列的基础。
队列更新策略：当新元素加入时，及时从队列尾部移除不再影响区间最值的元素，保持队列大小不会无限增长。
边界处理：正确处理队列的初始化和结束条件，避免越界错误。
空间效率：虽然单调队列可以显著提高时间效率，但也要注意其对空间的占用，特别是在大规模数据处理时。

解题思路

明确问题：识别问题中涉及的区间最值查询需求，判断是否可以通过维护单调性来优化。
状态定义：定义DP状态，明确状态转移方程。
引入单调队列：设计队列的插入与删除规则，确保队列始终保持所需单调性，并能快速提供区间最值。
状态转移优化：利用单调队列查询区间最值代替遍历，优化DP状态的计算。
实现细节：编写代码实现，特别注意队列的维护逻辑，确保在每个DP状态转移时正确更新队列。
验证与调试：检查边界条件和特殊情况，确保算法的正确性和效率。

AcWing 135. 最大子序和

题目描述

135. 最大子序和 - AcWing题库

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#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 3E5 + 10;

int n, m;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i], a[i] += a[i - 1];
    
    long long res = -3E9;
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        if(i - q[hh] > m) hh ++;
        res = max(res, 1ll * a[i] - a[q[hh]]);
        while(hh <= tt && a[i] <= a[q[tt]]) tt --;
        q[ ++ tt] = i;
    }
    cout << res;
}

代码思路

输入与预处理:
- 首先读入两个整数n和m，分别代表序列的长度和需要考虑的子数组长度。
- 接着读入一个长度为n的整数序列a[]，并通过累加生成一个新的序列，使得a[i]表示原序列前i个元素的和。这种预处理是为了方便计算任意子数组的和。
单调队列设计:
- 定义一个单调递减的双端队列q[]，用来存储序列a[]的索引。队列中的元素索引对应的a值是递减的，这样队头元素总是队列中对应a值最大的位置。
- 初始化队列的头指针hh和尾指针tt为0。
遍历与优化:
- 遍历更新序列a[]的每一个元素i时，首先检查队列中的最前面的索引是否超出了当前子数组长度m的范围，如果超出了则从队列头部弹出索引，保证队列中的都是可能参与形成长度为m的子数组的索引。
- 计算当前子数组a[q[hh]]到a[i]的和，并更新结果res为这个和与当前最大差值中的较大者。这样做的目的是找到最大的子数组和，因为我们要找的是这些和中的最小值，所以用负数表示并取最大值来间接实现。
- 维护单调队列的性质：如果新加入的a[i]比队列尾部的元素小（即a[q[tt]] >= a[i]），说明队尾元素不可能再成为未来更优解的一部分，因此将其从队列中移除。然后将当前索引i加入队列尾部。
输出结果:遍历结束后，变量res存储了所有长度为m的子数组和的最大值的负数形式，输出其正值即为所求的最小值。

改进思路

明确注释:添加详细的注释，尤其是对于算法核心逻辑部分，可以帮助阅读者更快理解代码意图。
变量命名清晰化 :虽然hh, tt, q[]等变量在竞赛编程中较为常见且简短，但对于长期维护的项目，使用更具描述性的变量名如queueHead, queueTail, indicesQueue[]可能会更好。
常量定义 :将负无穷大(-3E9)这样的magic number定义为常量，提高代码可读性和可维护性。例如，定义const long long INF = -3E9;
异常处理:考虑增加对输入数据的合法性检查，比如n和m是否合理，输入数组是否有非法值等。
优化输出格式:对于输出结果，根据实际需要可能要调整格式，比如添加单位、保留小数等。