C++算法学习心得八.动态规划算法(6)

1.最长递增子序列(300题)

题目描述:

给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1:

  • 输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
  • 输出:4
  • 解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较,而是我们要取dp[j] + 1的最大值

每一个i,对应的dp[i](即最长递增子序列)起始大小至少都是1.

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来,那么遍历i一定是从前向后遍历

j其实就是遍历0到i-1,那么是从前到后,还是从后到前遍历都无所谓,只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() <= 1)return nums.size();
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        int result = 0;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            for(int j = 0;j < i;j++){
                if(nums[j] < nums[i])dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
            }
            if(dp[i] > result)result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度: O(n^2)
  • 空间复杂度: O(n)

2.最长连续递增序列(674题)

题目描述:

给定一个未经排序的整数数组,找到最长且连续递增的子序列,并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r(l < r)确定,如果对于每个 l <= i < r,都有 nums[i] < nums[i + 1] ,那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1:

  • 输入:nums = [1,3,5,4,7]
  • 输出:3
  • 解释:最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的,因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

dp[i]:以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i],

如果 nums[i] > nums[i - 1],那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即:dp[i] = dp[i - 1] + 1;

因为本题要求连续递增子序列,所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1],而不用去比较nums[j]与nums[i] (j是在0到i之间遍历)。

既然不用j了,那么也不用两层for循环,本题一层for循环就行,比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1,即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

dp[i + 1]依赖dp[i],所以一定是从前向后遍历。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return nums.size();
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        int result = 1;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            if(nums[i] > nums[i - 1])dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            if(dp[i] > result)result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

贪心算法:

遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况,count就++,否则count为1,记录count的最大值就可以了。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return nums.size();
        int result = 1;
        int count = 1;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            if(nums[i] > nums[i - 1]){
                count++;
            }else{
                count = 1;
            }
            if(count > result)result = count;
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

3.最长重复子数组(718题)

题目描述:

给两个整数数组 A 和 B ,返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例:

输入:

  • A: [1,2,3,2,1]
  • B: [3,2,1,4,7]
  • 输出:3
  • 解释:长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

dp[i][j] :以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i][j]。 (特别注意: "以下标i - 1为结尾的A" 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 )

dp[i][j]的定义,dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0

外层for循环遍历A,内层for循环遍历B。

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>>dp(nums1.size() + 1,vector<int>(nums2.size() + 1,0));
        int result = 0;
        for(int i = 1;i <= nums1.size();i++){
            for(int j = 1;j <= nums2.size();j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                if(dp[i][j] > result)result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n × m),n 为A长度,m为B长度
  • 空间复杂度:O(n × m)

4.最长公共子序列(1143题)

题目描述:

给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

例如,"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列,则返回 0。

示例 1:

  • 输入:text1 = "abcde", text2 = "ace"
  • 输出:3
  • 解释:最长公共子序列是 "ace",它的长度为 3。

dp[i][j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。

即:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

dp[i][0] = 0;

同理dp[0][j]也是0。

从前向后,从上到下来遍历这个矩阵。

dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>>dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
        for(int i = 1;i <= text1.size();i++){
            for(int j = 1;j <= text2.size();j++){
                if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * m),其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
  • 空间复杂度: O(n * m)

5.不相交的线(1035题)

题目描述:

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1nums2 中的整数。

现在,可以绘制一些连接两个数字 nums1[i]nums2[j] 的直线,这些直线需要同时满足满足:

  • nums1[i] == nums2[j]
  • 且绘制的直线不与任何其他连线(非水平线)相交。

请注意,连线即使在端点也不能相交:每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条,并返回可以绘制的最大连线数。

本题说是求绘制的最大连线数,其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n * m)

6. 最大子序和(53题)

题目描述:

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例:

  • 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  • 输出: 6
  • 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]

dp[i]只有两个方向可以推出来:

  • dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
  • nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。

dp[0]应该是多少呢?

根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历,在递推公式的时候,可以直接选出最大的dp[i]

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return 0;
        vector<int>dp(nums.size(),0);//dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//状态转移公式,舍弃前面和当前基础上再继续加和
            if(dp[i] > result)result = dp[i];//result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

总结:

**最长递增子序列:**给定一个序列,其内部顺序是不定的,所以这里要求最大升序序列长度,那么先定义dp数组的含义dp[i]代表i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度,进行初始化操作,dp[i]大小为数组大小,且都赋值1,因为设定是长度至少有1,遍历顺序需要双循环来外层I是从1到nums.size(),内层循环从0到i进行遍历,递推公式:if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);还要记得需要更新dp[i]的值if(dp[i] > result)result = dp[i];最后返回result即可

**最长连续递增序列:**动态规划:上一题基础上,介绍dp[i]:以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i],如果 nums[i] > nums[i - 1],那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1。递推公式:dp[i] = dp[i - 1] + 1,本题要求连续递增子序列,所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1],而不用去比较nums[j]与nums[i] (j是在0到i之间遍历),贪心算法:遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况,count就++,否则count为1,记录count的最大值就可以了。

**最长重复子数组:**给定两个数组,然后对这两个数组求最大重复子数组,dp[i][j] :以下标i - 1为结尾的A,和以下标j - 1为结尾的B,最长重复子数组长度为dp[i][j],dp[i][j]的定义,dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来,递推公式:A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1,初始化:dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0,遍历顺序:外层for循环遍历A,内层for循环遍历B。

**最长公共子序列:**给定两个字符串,但是呢需要求的子序列是不改变相对顺序,且可以删除字符,dp[i][j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j],text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。即:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

**不相交的线:**求绘制的最大连线数,其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度 ,整体代码和上一个最长公共子序列流程一样,想法也大致相同,只是换一些字母。

**最大子序和:**dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i],dp[i]只有两个方向,一个是dp[i-1]+nums[i],还有从开始nums[i]开始,递推公式:dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]),dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0],dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历,在递推公式的时候,可以直接选出最大的dp[i]。

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