C++算法学习心得八.动态规划算法（6）

1.最长递增子序列（300题）

题目描述：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， $3,6,2,7$ 是数组 $0,3,1,6,2,2,7$ 的子序列。

示例 1：

输入：nums = $10,9,2,5,3,7,101,18$
输出：4
解释：最长递增子序列是 $2,3,7,101$ ，因此长度为 4 。

dp $i$ 表示i之前包括i的以nums $i$ 结尾的最长递增子序列的长度

if (nums $i$ > nums $j$ ) dp $i$ = max(dp $i$ , dp $j$ + 1);

注意这里不是要dp $i$ 与 dp $j$ + 1进行比较，而是我们要取dp $j$ + 1的最大值。

每一个i，对应的dp $i$ （即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

dp $i$ 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。所以默认习惯从前向后遍历。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() <= 1)return nums.size();
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        int result = 0;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            for(int j = 0;j < i;j++){
                if(nums[j] < nums[i])dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
            }
            if(dp[i] > result)result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n)

2.最长连续递增序列(674题）

题目描述：

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums $i$ < nums $i + 1$ ，那么子序列 $nums\[l$ , nums $l + 1$ , ..., nums $r - 1$ , nums $r$ ] 就是连续递增子序列。

示例 1：

输入：nums = $1,3,5,4,7$
输出：3
解释：最长连续递增序列是 $1,3,5$ , 长度为3。尽管 $1,3,5,7$ 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

dp $i$ ：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp $i$ ,

如果 nums $i$ > nums $i - 1$ ，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度一定等于以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp $i$ = dp $i - 1$ + 1;

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums $i$ 与nums $i - 1$ ，而不用去比较nums $j$ 与nums $i$ （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums $i$ 和 nums $i - 1$ 。

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums $i$ 这一个元素。

所以dp $i$ 应该初始1;

dp $i + 1$ 依赖dp $i$ ，所以一定是从前向后遍历。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return nums.size();
        vector<int>dp(nums.size(),1);
        int result = 1;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            if(nums[i] > nums[i - 1])dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            if(dp[i] > result)result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

贪心算法:

遇到nums $i$ > nums $i - 1$ 的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return nums.size();
        int result = 1;
        int count = 1;
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            if(nums[i] > nums[i - 1]){
                count++;
            }else{
                count = 1;
            }
            if(count > result)result = count;
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

3.最长重复子数组(718题）

题目描述：

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

A: $1,2,3,2,1$
B: $3,2,1,4,7$
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 $3, 2, 1$ 。

dp $i$ $j$ ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp $i$ $j$ 。（特别注意： "以下标i - 1为结尾的A" 标明一定是以A $i-1$ 为结尾的字符串）

dp $i$ $j$ 的定义，dp $i$ $j$ 的状态只能由dp $i - 1$ $j - 1$ 推导出来。

即当A $i - 1$ 和B $j - 1$ 相等的时候，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;

dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 初始化为0

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>>dp(nums1.size() + 1,vector<int>(nums2.size() + 1,0));
        int result = 0;
        for(int i = 1;i <= nums1.size();i++){
            for(int j = 1;j <= nums2.size();j++){
                if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                if(dp[i][j] > result)result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
空间复杂度：O(n × m)

4.最长公共子序列(1143题）

题目描述：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

dp $i$ $j$ ：长度为 $0, i - 1$ 的字符串text1与长度为 $0, j - 1$ 的字符串text2的最长公共子序列为dp $i$ $j$

text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同

如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，那么找到了一个公共元素，所以dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;

如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同，那就看看text1 $0, i - 2$ 与text2 $0, j - 1$ 的最长公共子序列和 text1 $0, i - 1$ 与text2 $0, j - 2$ 的最长公共子序列，取最大的。

即：dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ );

dp $i$ $0$ = 0;

同理dp $0$ $j$ 也是0。

从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

dp $text1.size()$ $text2.size()$ 为最终结果

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>>dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
        for(int i = 1;i <= text1.size();i++){
            for(int j = 1;j <= text2.size();j++){
                if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
空间复杂度: O(n * m)

5.不相交的线(1035题）

题目描述：

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

6. 最大子序和（53题）

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: $-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4$
输出: 6
解释: 连续子数组 $4,-1,2,1$ 的和最大，为 6。

dp $i$ ：包括下标i（以nums $i$ 为结尾）的最大连续子序列和为dp $i$ 。

dp $i$ 只有两个方向可以推出来：

dp $i - 1$ + nums $i$ ，即：nums $i$ 加入当前连续子序列和
nums $i$ ，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp $i$ = max(dp $i - 1$ + nums $i$ , nums $i$ );

递推公式可以看出来dp $i$ 是依赖于dp $i - 1$ 的状态，dp $0$ 就是递推公式的基础。

dp $0$ 应该是多少呢?

根据dp $i$ 的定义，很明显dp $0$ 应为nums $0$ 即dp $0$ = nums $0$ 。

递推公式中dp $i$ 依赖于dp $i - 1$ 的状态，需要从前向后遍历，在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp $i$

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0)return 0;
        vector<int>dp(nums.size(),0);//dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i = 1;i < nums.size();i++){
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//状态转移公式，舍弃前面和当前基础上再继续加和
            if(dp[i] > result)result = dp[i];//result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

总结：

**最长递增子序列：**给定一个序列，其内部顺序是不定的，所以这里要求最大升序序列长度，那么先定义dp数组的含义dp $i$ 代表i之前包括i的以nums $i$ 结尾的最长递增子序列的长度，进行初始化操作，dp $i$ 大小为数组大小，且都赋值1，因为设定是长度至少有1，遍历顺序需要双循环来外层I是从1到nums.size()，内层循环从0到i进行遍历，递推公式：if (nums $i$ > nums $j$ ) dp $i$ = max(dp $i$ , dp $j$ + 1);还要记得需要更新dp $i$ 的值if(dp $i$ > result)result = dp $i$ ;最后返回result即可

**最长连续递增序列：**动态规划：上一题基础上，介绍dp $i$ ：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp $i$ ,如果 nums $i$ > nums $i - 1$ ，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度一定等于以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1。递推公式：dp $i$ = dp $i - 1$ + 1，本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums $i$ 与nums $i - 1$ ，而不用去比较nums $j$ 与nums $i$ （j是在0到i之间遍历），贪心算法：遇到nums $i$ > nums $i - 1$ 的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

**最长重复子数组：**给定两个数组，然后对这两个数组求最大重复子数组，dp $i$ $j$ ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp $i$ $j$ ，dp $i$ $j$ 的定义，dp $i$ $j$ 的状态只能由dp $i - 1$ $j - 1$ 推导出来，递推公式：A $i - 1$ 和B $j - 1$ 相等的时候，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1，初始化：dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 初始化为0，遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

**最长公共子序列：**给定两个字符串，但是呢需要求的子序列是不改变相对顺序，且可以删除字符，dp $i$ $j$ ：长度为 $0, i - 1$ 的字符串text1与长度为 $0, j - 1$ 的字符串text2的最长公共子序列为dp $i$ $j$ ，text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同，如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，那么找到了一个公共元素，所以dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同，那就看看text1 $0, i - 2$ 与text2 $0, j - 1$ 的最长公共子序列和 text1 $0, i - 1$ 与text2 $0, j - 2$ 的最长公共子序列，取最大的。即：dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ );

**不相交的线：**求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度，整体代码和上一个最长公共子序列流程一样，想法也大致相同，只是换一些字母。

**最大子序和：**dp $i$ ：包括下标i（以nums $i$ 为结尾）的最大连续子序列和为dp $i$ ，dp $i$ 只有两个方向，一个是dp $i-1$ +nums $i$ ，还有从开始nums $i$ 开始，递推公式：dp $i$ = max(dp $i - 1$ + nums $i$ , nums $i$ )，dp $0$ 应为nums $0$ 即dp $0$ = nums $0$ ，dp $i$ 依赖于dp $i - 1$ 的状态，需要从前向后遍历，在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp $i$ 。