- 贪心算法(Greedy Algorithm)
定义:
贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优(即最有利)的选择,从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。贪心算法并不是对所有问题都能得到整体最优解,关键是贪心策略的选择。
特点:
局部最优选择:每一步都选择当前状态下的最优解。
不回溯:一旦做出选择,就不再更改。
应用场景:
找零钱问题(每次取面值最大的硬币)。
霍夫曼编码(构建最优前缀编码)。
- 分治法(Divide and Conquer)
定义:
分治法是一种将问题分解为若干个子问题,递归地解决这些子问题,然后将子问题的解合并起来得到原问题的解的算法。
步骤:
分:将问题分解为若干个子问题。
治:递归地解决这些子问题。
合:将子问题的解合并起来得到原问题的解。
应用场景:
归并排序(将数组分为两半,分别排序后合并)。
快速排序(选择一个基准元素,将数组分为两部分,递归排序)。
- 回溯法(Backtracking)
定义:
回溯法是一种通过探索所有可能的候选解来找出所有解的算法。如果候选解被确认不是一个解(或者至少不是最后一个解),回溯法会通过在上一步进行一些更改来丢弃该解,即"回溯"并尝试其他可能的解。
基本思想:
试探:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。
回溯:当试探到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择。
应用场景:
八皇后问题(在8x8的棋盘上放置八个皇后,使得它们不能互相攻击)。
图的着色问题(给定一个无向图,用k种颜色给图中的顶点着色,使得任意两个相邻的顶点颜色不同)。
- 动态规划法(Dynamic Programming)
定义:
动态规划通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中,可能会有许多可行解,每个解都对应一个值,动态规划的目标是找到具有最优值的解。
特点:
分解子问题:将原问题分解为若干个子问题。
保存子问题解:保存已解决的子问题的解,避免重复计算。
最优子结构:原问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的。
应用场景:
背包问题(给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价值,在限定的总重量内,如何选择使得物品的总价值最高)。
最短路径问题(在图中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径)。
- 最大流算法(Maximum Flow Algorithm)
定义:
最大流算法是在流网络中找到从源点到汇点的最大流量。流网络是一个有向图,图中的边有容量限制。
关键概念:
残留网络:表示当前网络中每条边还可以传输多少流量的网络。
增广路径:在残留网络中,从源点到汇点的一条路径,其路径上的最小残留容量即为该增广路径的容量。
算法步骤:
初始化流网络。
在残留网络中寻找增广路径。
如果找到增广路径,则更新网络中的流量。
重复步骤2和3,直到残留网络中不存在增广路径为止。
应用场景:
网络流优化问题(如带宽分配、运输调度等)。
某些特定的最优化问题,可以通过转换为网络流模型来解决。