Ford-Fulkerson算法是用于求解最大流问题的一种经典算法。其核心思想是通过不断寻找增广路径来增加流量，直到找不到增广路径为止。每次找到一条增广路径，就增加相应的流量，更新残余网络。简单来说就是Ford-Fulkerson算法的工作过程，即不断寻找增广路径并增加流量，直到无法找到增广路径为止。
算法步骤
- 初始化： 将所有边的流量初始化为0。
- 寻找增广路径： 使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）在残余网络中寻找从源点到汇点的增广路径。
- 增广路径上增加流量： 在找到的增广路径上增加可以增加的最小流量。
- 更新残余网络： 根据增广路径上的流量调整残余网络。
- 重复步骤2-4，直到找不到增广路径为止。
以一个简单的例子来演示Ford-Fulkerson算法的执行过程。
假设有一个流网络如下：
源点 (S)
/ \
10 5
/ \
A B
\ /
5 10
\ /
C
|
10
|
汇点 (T)
其中每条边的数字表示容量。
步骤1：初始化
- 所有边的流量初始化为0。
步骤2：寻找增广路径
- 使用DFS或BFS从源点S寻找增广路径。假设我们使用DFS找到路径S -> A -> C -> T，路径上的容量为10，最小容量为5。
步骤3：增广路径上增加流量
- 增加流量5。路径S -> A -> C -> T上各边的流量增加5。
- 更新后的流量：
- S -> A 流量为5，剩余容量为5。
- A -> C 流量为5，剩余容量为0。
- C -> T 流量为5，剩余容量为5。
步骤4：更新残余网络
- 根据增广路径上的流量调整残余网络。增加逆向边用于表示可以回退的流量。
- 增加逆向边A -> S，容量为5，流量为0。
- 增加逆向边C -> A，容量为5，流量为0。
- 增加逆向边T -> C，容量为5，流量为0。
步骤2：寻找增广路径（继续）
- 继续寻找另一条增广路径。假设找到路径S -> B -> C -> T，路径上的容量为10，最小容量为5。
步骤3：增广路径上增加流量
- 增加流量5。路径S -> B -> C -> T上各边的流量增加5。
- 更新后的流量：
- S -> B 流量为5，剩余容量为0。
- B -> C 流量为5，剩余容量为5。
- C -> T 流量为10，剩余容量为0。
步骤4：更新残余网络
- 根据增广路径上的流量调整残余网络。增加逆向边用于表示可以回退的流量。
- 增加逆向边B -> S，容量为5，流量为0。
- 增加逆向边C -> B，容量为5，流量为0。
- 增加逆向边T -> C，容量为5，流量为0。
步骤2：寻找增广路径（结束）
- 继续寻找增广路径，发现没有增广路径了。
结果
- 最大流量为10。
cpp
#include <iostream> // 包含输入输出流的头文件
#include <vector> // 包含向量容器的头文件
#include <queue> // 包含队列容器的头文件
#include <climits> // 包含INT_MAX定义的头文件
#include <cstring> // 包含memset函数的头文件
using namespace std; // 使用标准命名空间
class FordFulkerson {
int V; // 顶点数量
vector<vector<int>> capacity; // 容量矩阵
vector<vector<int>> adj; // 邻接表
// 广度优先搜索(BFS)函数，用于在残余网络中寻找增广路径
bool bfs(vector<int>& parent, int s, int t) {
vector<bool> visited(V, false); // 访问标记数组，初始化为未访问
queue<int> q; // BFS队列
q.push(s); // 源点入队
visited[s] = true; // 标记源点为已访问
parent[s] = -1; // 源点没有父节点
while (!q.empty()) { // 当队列不为空时
int u = q.front(); // 取出队首元素
q.pop(); // 队首元素出队
for (int v : adj[u]) { // 遍历邻接表中的所有邻接节点
if (!visited[v] && capacity[u][v] > 0) { // 如果节点未访问且有剩余容量
if (v == t) { // 如果找到汇点
parent[v] = u; // 记录父节点
return true; // 返回找到增广路径
}
q.push(v); // 将节点入队
parent[v] = u; // 记录父节点
visited[v] = true; // 标记节点为已访问
}
}
}
return false; // 如果没有找到增广路径，返回false
}
public:
// 构造函数，初始化顶点数量、容量矩阵和邻接表
FordFulkerson(int V) : V(V), capacity(V, vector<int>(V, 0)), adj(V) {}
// 添加边及其容量
void addEdge(int u, int v, int cap) {
capacity[u][v] = cap; // 设置容量
adj[u].push_back(v); // 添加邻接点
adj[v].push_back(u); // 添加反向边的邻接点
}
// 计算最大流量
int maxFlow(int s, int t) {
int max_flow = 0; // 初始化最大流量为0
vector<int> parent(V); // 用于记录增广路径中的父节点
while (bfs(parent, s, t)) { // 当找到增广路径时
int path_flow = INT_MAX; // 初始化路径流量为无穷大
// 计算增广路径中的最小流量
for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {
int u = parent[v];
path_flow = min(path_flow, capacity[u][v]);
}
// 更新残余网络中的容量
for (int v = t; v != s; v = parent[v]) {
int u = parent[v];
capacity[u][v] -= path_flow;
capacity[v][u] += path_flow;
}
// 增加总流量
max_flow += path_flow;
}
return max_flow; // 返回最大流量
}
};
int main() {
int V = 6; // 顶点数量 (包括源点和汇点)
FordFulkerson graph(V); // 创建一个FordFulkerson对象
// 添加边和对应的容量
graph.addEdge(0, 1, 10); // S -> A 容量 10
graph.addEdge(0, 2, 5); // S -> B 容量 5
graph.addEdge(1, 3, 5); // A -> C 容量 5
graph.addEdge(2, 3, 10); // B -> C 容量 10
graph.addEdge(3, 5, 10); // C -> T 容量 10
int source = 0; // 源点 S
int sink = 5; // 汇点 T
// 计算并输出最大流量
cout << "最大流量: " << graph.maxFlow(source, sink) << endl;
return 0;
}