(ii) 几何学: 最近的工作通过如B-Dou损失【8】和深度编码网络【24】等方法突出了几何性的重要性。技术如动态形状卷积【13】和特征传递【21】在医学图像分割中得到了应用。基于距离图的方法变得普遍，包括使用带符号距离图的形状感知分割【25】，以及基于距离变换图的CNN集成【9】。最近的技术结合了中心线和距离图，展示了在管状结构分割中同时约束骨架和几何形态的能力【23,18】。然而，它们在损失函数中的综合集成不足，这对于扩大适用性和泛化性至关重要。尽管基于clDice的归一化骨架距离变换（NSDT）损失【14】在几何形态和拓扑保真度方面表现出色，传统的损失函数如Dice损失仍然受到直径不平衡的影响。
该方法首先通过模型处理输入 X ∈ R c i i m e s N X \in \mathbb{R}^{c_i imes N} X∈RciimesN ，生成输出 Y ∈ R c o i m e s N Y \in \mathbb{R}^{c_o imes N} Y∈RcoimesN ，其中 c i c_i ci 和 c o c_o co 分别表示输入和输出通道的数量。随后，输出 Y Y Y 被转换为二值掩码，记为 V V V 。这里， N N N 表示像素或体素的总数，定义为 w i m e s h w imes h wimesh 对于2D图像，或 w i m e s h i m e s d w imes h imes d wimeshimesd 对于3D体积，其中 w , h , d w, h, d w,h,d 分别表示宽度、高度和深度。掩码 V V V 定义为 V = { v i ; b j ∣ i ∈ [ 1 , q ] , j ∈ [ 1 , k ] } ，包括值为 1 的掩码点（ V = \{v_i; b_j | i \in [1,q], j \in [1,k]\} ，包括值为1的掩码点（ V={vi;bj∣i∈[1,q],j∈[1,k]}，包括值为1的掩码点（v$）和值为0的背景点（ b b b ）。相应的骨架 S S S 由 V V V 导出，组成 S = { s i ; b j s ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , m ] } S = \{s_i; b_j^s | i \in [1,n], j \in [1,m]\} S={si;bjs∣i∈[1,n],j∈[1,m]} ，其中 n n n 个骨架点（ s s s ）值为1， m m m 个背景点（ b s b^s bs ）值为0。 V V V 和 S S S 都属于 R N \mathbb{R}^N RN 。下标 P 和 L 分别表示预测和参考。我们从检查传统的 clDice【17】开始，介绍拓扑保留的方法。
T p r e c ( S P , V L ) = ∣ S P ∩ V L ∣ ∣ S P ∣ , T s e n s ( S L , V P ) = ∣ S L ∩ V P ∣ ∣ S L ∣ T_{prec}(S_P, V_L) = \frac{|S_P \cap V_L|}{|S_P|}, \quad T_{sens}(S_L, V_P) = \frac{|S_L \cap V_P|}{|S_L|} Tprec(SP,VL)=∣SP∣∣SP∩VL∣,Tsens(SL,VP)=∣SL∣∣SL∩VP∣
clDice ( V P , V L ) = 2 × T p r e c ( S P , V L ) × T s e n s ( S L , V P ) T p r e c ( S P , V L ) + T s e n s ( S L , V P ) \text{clDice}(V_P, V_L) = \frac{2 \times T_{prec}(S_P, V_L) \times T_{sens}(S_L, V_P)}{T_{prec}(S_P, V_L) + T_{sens}(S_L, V_P)} clDice(VP,VL)=Tprec(SP,VL)+Tsens(SL,VP)2×Tprec(SP,VL)×Tsens(SL,VP)
Dice的变化
图2说明了cl-X-Dice的变化。我们的方法将管状结构视为具有可变半径的实体：利用沿中心线的法向圆来表示2D中的绘图线段，使用沿3D中的中心线对齐的圆形截面。这种对齐通过集合基方法促进体积估计。集合 D D D 表示从掩码点（ v i v_i vi ）到其各自边界的最小距离，定义为 D = { d i ; v i ∣ i ∈ [ 1 , q ] , j ∈ [ 1 , k ] } D = \{d_i; v_i | i \in [1,q], j \in [1,k]\} D={di;vi∣i∈[1,q],j∈[1,k]} ，形成距离图。集合 R R R ，与骨架点 S S S 相关，定义为 R = { r i ; s i ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , m ] } R = \{r_i; s_i | i \in [1,n], j \in [1,m]\} R={ri;si∣i∈[1,n],j∈[1,m]} ，表示每个骨架点（ s s s ）与其骨架半径（ r r r ）的距离。 S S S 中的每个骨架点的半径由距离图 D D D 派生，生成集合 R R R 。相反，集合 T = { t i ; b j s ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , m ] } T = \{t_i; b_j^s | i \in [1,n], j \in [1,m]\} T={ti;bjs∣i∈[1,n],j∈[1,m]} 表示骨架半径的集合，表示在 S S S 中的骨架点。 D , R , T D, R, T D,R,T 是 R N \mathbb{R}^N RN 的元素。为了协调骨架线和距离图计算中的差异，超出 R max R_{\max} Rmax 的 D D D 中的值被调整为 R max R_{\max} Rmax 。因此， R R R 的范围为 [ 0 , R max ] [0, R_{\max}] [0,Rmax] 且 D D D 的范围为 [ 1 , R max ] [1, R_{\max}] [1,Rmax] 。对于 p 个掩码点 { v i ∣ i ∈ Z i ∈ [ 1 , p ] } \{v_i | i \in \mathbb{Z}{i \in [1,p]}\} {vi∣i∈Zi∈[1,p]} ，在2D平面上与中心线或3D截面中的点的距离 d i d_i di ，骨架半径 r r r 范围在 [1, r] 之内。cl-X-Dice度量设计用于解决不同直径血管的分割挑战：
T p r e c ( S P , S L , V L ) = ∣ Q S P ∩ Q V L ∣ ∣ Q S P ∣ T{prec}(S_P, S_L, V_L) = \frac{|Q_{SP} \cap Q_{VL}|}{|Q_{SP}|} Tprec(SP,SL,VL)=∣QSP∣∣QSP∩QVL∣
T s e n s ( S L , V P ) = ∣ Q L ∩ Q V ∣ ∣ Q L ∣ T_{sens}(S_L, V_P) = \frac{|Q_{L} \cap Q_{V}|}{|Q_{L}|} Tsens(SL,VP)=∣QL∣∣QL∩QV∣
cl-X-Dice ( V P , V L ) = 2 × T p r e c ( S P , S L , V L ) × T s e n s ( S L , V P ) T p r e c ( S P , S L , V L ) + T s e n s ( S L , V P ) \text{cl-X-Dice}(V_P, V_L) = \frac{2 \times T_{prec}(S_P, S_L, V_L) \times T_{sens}(S_L, V_P)}{T_{prec}(S_P, S_L, V_L) + T_{sens}(S_L, V_P)} cl-X-Dice(VP,VL)=Tprec(SP,SL,VL)+Tsens(SL,VP)2×Tprec(SP,SL,VL)×Tsens(SL,VP)
我们定义 U U U 为每个元素为1的 R N \mathbb{R}^N RN 。我们引入变量 Q S P , Q S L , Q V L , Q P Q_{SP}, Q_{SL}, Q_{VL}, Q_{P} QSP,QSL,QVL,QP 来解决几何和血管直径不平衡在分割过程中提出的不同方面。这些变量对于血管结构的详细分析至关重要。表1中提供了cl-X-Dice在血管分割中的综合比较。Q的关键符号定义为：sp = SP, sl = SL, vl = VL, vp = VP, s = SL, v = VL 和 spp = SP \cap VP。此外，归一化比率表示为 R N = R R max R_N = \frac{R}{R_{\max}} RN=RmaxR ，面积比 S N = S P V P S_N = \frac{S_P}{V_P} SN=VPSP ，以及 D N = D R max D_N = \frac{D}{R_{\max}} DN=RmaxD 。图3展示了不同度量对平移、变形和直径不平衡的响应。我们广泛分析了cl-X-Dice度量对几何变换的理论响应。详细证明见补充材料。
我们使用PyTorch 2.1进行实验，利用NVIDIA V100以提高计算效率。所有实验都是从头开始在nnU-Net V2框架上训练的【5】。在标准化我们的实验设置时，我们选择不使用深度监督，将批量大小设置为2，并根据每个数据集的默认配置调整nnU-Net的其他参数。此外，对于TopCoW 2023数据集，我们禁用了镜像增强，以防止左右标签的错误翻转。我们严格评估了cbDice损失在TopCoW 2023挑战和其他最近研究的分割模型上的效果。这项评估包括nnU-Net【5】、SwinUNETR【3】和NexToU【16】。比较研究涉及多种损失函数：标准Dice损失、clDice损失【17】、B-Dou损失【21】以及我们提出的cl-M-Dice和cbDice损失。分割性能通过关键指标评估，如重叠（Dice和clDice【17】）、拓扑（Betti数误差和Betti匹配误差【20】）和距离（归一化表面距离（NSD）在1.0mm容差内，参考【12,10】）。我们采用了在【11】中描述的可证明的差分骨架提取算法，并通过cuCIM库实现了加速的欧几里得距离变换。与nnU-Net保持一致，我们使用交叉熵（CE）损失。损失函数定义为： L = 0.5 × C E + α 2 ( α + β ) × D i c e + β 2 ( α + β ) × X L = 0.5 \times CE + \frac{\alpha}{2(\alpha + \beta)} \times Dice + \frac{\beta}{2(\alpha + \beta)} \times X L=0.5×CE+2(α+β)α×Dice+2(α+β)β×X其中，X表示cl-X-Dice或B-Dou【21】。参数α和β是非负数；当两者都设置为0时，恢复为CE损失。
对于沿骨架线的垂直平移且无变形情况下，cl-M-Dice系数对半径R内掩码 V V V的平移敏感，而clDice保持不变。
证明。 在二维中，cl-M-Dice定义如下（类似地可扩展到三维）：
T p r e c ( S P , S L , V L ) = ∣ S P ∩ D L ∣ ∣ R P ∩ ( U − S L ) ∣ + ∣ S P ∩ R L ∣ T_{prec}(S_P, S_L, V_L) = \frac{|S_P \cap D_L|}{|R_P \cap (U - S_L)| + |S_P \cap R_L|} Tprec(SP,SL,VL)=∣RP∩(U−SL)∣+∣SP∩RL∣∣SP∩DL∣
T s e n s ( S L , S P , V P ) = ∣ S L ∩ D P ∣ ∣ R L ∩ ( U − S P ) ∣ + ∣ S L ∩ R P ∣ T_{sens}(S_L, S_P, V_P) = \frac{|S_L \cap D_P|}{|R_L \cap (U - S_P)| + |S_L \cap R_P|} Tsens(SL,SP,VP)=∣RL∩(U−SP)∣+∣SL∩RP∣∣SL∩DP∣
在保持恒定半径的垂直平移下， ∣ S P ∩ R L ∣ |S_P \cap R_L| ∣SP∩RL∣等于 ∣ S L ∩ R P ∣ |S_L \cap R_P| ∣SL∩RP∣。这将cl-M-Dice的分母减少为 ∣ R P ∣ |R_P| ∣RP∣（对于 R L R_L RL类似），使其敏感性仅依赖于分子。因此，cl-M-Dice对 R R R内 V V V的空间位移作出反应。 相反，clDice评估 S S S和 V V V之间的重叠，不受这些变化的影响。
证明。 在二维中，cl-S-Dice定义如下（类似地可扩展到三维）：
T p r e c ( S P , S L , V L ) = ∣ R P ∩ V L ∣ ∣ R P ∣ , T s e n s ( S L , S P , V P ) = ∣ R L ∩ V P ∣ ∣ R L ∣ T_{prec}(S_P, S_L, V_L) = \frac{|R_P \cap V_L|}{|R_P|}, \quad T_{sens}(S_L, S_P, V_P) = \frac{|R_L \cap V_P|}{|R_L|} Tprec(SP,SL,VL)=∣RP∣∣RP∩VL∣,Tsens(SL,SP,VP)=∣RL∣∣RL∩VP∣
对于clDice ≠ 1（部分重叠），半径的变化（ R P R_P RP， R L R_L RL）影响 ∣ R P ∩ V L ∣ |R_P \cap V_L| ∣RP∩VL∣和 ∣ R L ∩ V P ∣ |R_L \cap V_P| ∣RL∩VP∣。具体来说， S = { s i , b j s ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , m ] } S = \{s_i, b_j^s | i \in [1,n], j \in [1,m]\} S={si,bjs∣i∈[1,n],j∈[1,m]}和 R = { r i ; s i , b j s ∣ i ∈ [ 1 , n ] , j ∈ [ 1 , m ] } R = \{r_i; s_i, b_j^s | i \in [1,n], j \in [1,m]\} R={ri;si,bjs∣i∈[1,n],j∈[1,m]}，任何 s i s_i si的 r i r_i ri的变化修改cl-S-Dice。 当clDice = 1（完全重叠）， ∣ R P ∩ V L ∣ |R_P \cap V_L| ∣RP∩VL∣和 ∣ R L ∩ V P ∣ = ∣ R L ∣ |R_L \cap V_P| = |R_L| ∣RL∩VP∣=∣RL∣，cl-S-Dice与clDice一致，突显了cl-S-Dice在其他情况下对半径变化的敏感性。
定理 3
cl-X-Dice增强了几何敏感性并补偿了直径差异，同时保留了clDice的拓扑完整性。
证明。 cl-X-Dice度量通过引入变量 Q s l Q_{sl} Qsl、 Q s p Q_{sp} Qsp、 Q v l Q_{vl} Qvl和 Q v p Q_{vp} Qvp，提供了对几何变化（包括大小和形状变化）的高级敏感性，同时保持clDice的拓扑保留特性。
T p r e c ( S P , S L , V L ) = ∣ Q s p ∩ Q v l ∣ ∣ Q s p ∩ Q s p v p ∩ ( U − S L ) ∣ + ∣ Q s p ∩ Q s l v l ∣ T_{prec}(S_P, S_L, V_L) = \frac{|Q_{sp} \cap Q_{vl}|}{|Q_{sp} \cap Q_{spvp} \cap (U - S_L)| + |Q_{sp} \cap Q_{slvl}|} Tprec(SP,SL,VL)=∣Qsp∩Qspvp∩(U−SL)∣+∣Qsp∩Qslvl∣∣Qsp∩Qvl∣
T s e n s ( S L , S P , V P ) = ∣ Q s l ∩ Q v p ∣ ∣ Q s l ∩ Q s l v l ∩ ( U − S P ) ∣ + ∣ Q s l ∩ Q s p v p ∣ T_{sens}(S_L, S_P, V_P) = \frac{|Q_{sl} \cap Q_{vp}|}{|Q_{sl} \cap Q_{slvl} \cap (U - S_P)| + |Q_{sl} \cap Q_{spvp}|} Tsens(SL,SP,VP)=∣Qsl∩Qslvl∩(U−SP)∣+∣Qsl∩Qspvp∣∣Qsl∩Qvp∣
