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这一篇文章我们就开始数据结构知识的学习！
数据结构前言
数据结构
我们学习计算机相关内容的时候，都听说过数据结构，那么什么是数据结构呢？
数据结构(Data Structure)是 计算机存储、组织数据的⽅式 ，指 相互之间存在⼀种或多种特定关系的数据元素的集合 。
没有⼀种单⼀的数据结构对所有⽤途都有⽤，所以我们要学各式各样的数据结构， 如：线性表、树、图、哈希等。
算法
算法(Algorithm):
定义 良好的计算过程 ，他 取⼀个或⼀组的值为输⼊ ，并 产⽣出⼀个或⼀组值作为输出 。简单来说 算法就是⼀系列的计算步骤，⽤来将输⼊数据转化成输出结果 。
算法效率
既然是一系列的计算步骤，那么如何衡量⼀个算法的好坏呢？
算法在编写成可执⾏程序后，运⾏时需要 耗费时间资源和空间(内存)资源 。
因此衡量⼀个算法的好 坏，⼀般是从 时间 和 空间 两个维度来衡量的，即 时间复杂度 和 空间复杂度 。
那么这两个维度来衡量算法有什么区别呢？
时间复杂度 主要衡量⼀个算法的 运⾏快慢
空间复杂度 主要衡量⼀个算法 运⾏所需要的额外空间
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很⼩，所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机⾏业的 迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很⾼的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注⼀个算法 的空间复杂度。
时间复杂度
定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N) ，它 定量描述了该算法的运⾏时间。
T(N)函数式计算的是程序的执⾏次数。
通过c语⾔编译链接的学习，算法程序被编译后⽣成⼆进制指令，程序运⾏，就是cpu执⾏这 些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执⾏次数的函数T(N)，假设每 句指令执⾏时间基本⼀样(实际中有差别，但是微乎其微)，那么 执⾏次数和运⾏时间就是等⽐正相关 ， 这样也脱离了具体的编译运⾏环境。
执⾏次数就可以代表程序时间效率的优劣。 ⽐如解决⼀个问题的 算法a程序T(N) = N，算法b程序T(N) = N^2，那么算法a的效率⼀定优于算法b 时 间
复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运⾏时间呢？
- 因为程序运⾏时间和编译环境和运⾏机器的配置都有关系，⽐如同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼编译 器进⾏编译和新编译器编译，在同样机器下运⾏时间不同。
- 同⼀个算法程序，⽤⼀个⽼低配置机器和新⾼配置机器，运⾏时间也不同。
- 并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。
那么下面这一段代码中，++count语句一共执行了多少次呢？
cpp
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
//外层循环：i------> 0 1 2 3 4 5 6 7 .................. N-1 N
//内存循环： N N N N N N N N .....................N 0（++count每次外层循环进来执行N次）
//++count执行了N*N次
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
//++count执行了2N次
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
//++count执行了M(10)次
}通过分析，我们可以知道++count语句执行了N*N+2*N+10次
T ( N ) = N * N + 2 ∗ N + 10
• N = 10 T(N) = 130
• N = 100 T(N) = 10210
• N = 1000 T(N) = 1002010
通过对N取值分析，对结果影响最⼤的⼀项是N*N
在实际中我们 计算时间复杂度 时，计算的 不是程序的精确的执⾏次数 ，精确执⾏次数计算起来比较 ⿇烦(不同的⼀句程序代码，编译出的指令条数都是不⼀样的)，计算出精确的执⾏次数意义也不⼤， 因为我们计算时间复杂度只是想⽐较算法程序的增⻓量级，也就是当N不断变⼤时T(N)的差别。
通过上面的分析，我 们看到当N不断变⼤（趋向于无穷大时）时， 常数和低阶项对结果的影响很⼩ ，所以我们只需要计算程序能代表增⻓量 级的⼤概执⾏次数。
大O的渐进表示法
复杂度的表示通常使⽤⼤O的渐进表示法。
⼤O符号（Big O notation）：是⽤于描述函数渐进⾏为的数学符号
我们接下来一起来看看 推导⼤O阶规则：
- 时间复杂度函数式 T(N) 中， 只保留最⾼阶项 ，去掉那些低阶项，因为当 N 不断变⼤时， 低阶项对结果影响越来越⼩，当 N ⽆穷⼤时，就可以忽略不计低阶项。
- 如果最 ⾼阶项存在且不是1 ，则 去除这个项⽬的常数系数 ，因为当 N 不断变⼤，这个系数
对结果影响越来越⼩，当 N ⽆穷⼤时，就可以忽略不计了。- T(N) 中如果没有 N 相关的项⽬， 只有常数项 ，⽤ 常数1取代所有加法常数
（在我们看来一个很大的常数，比如100000000000，在计算机看来也是影响很小的，与常数1的效果差不多）
示例1
cpp
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}Func2执⾏的基本操作次数：T ( N ) = 2 N + 10
根据推导规则得出Func2的时间复杂度为： O ( N )
（保留高阶项2N， 2作为常数系数可以省略，所以时间复杂度为O（N）
示例2
cpp
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}Func3执⾏的基本操作次数：T ( N ) = M+N
根据推导规则得出：
如果M>>N(M远远大于N） *，*Func3的时间复杂度为：O（M）
如果M<<N(M远远小于N） ，Func3的时间复杂度为：O（N）
如果M==N(M近似等于N） ， Func3的时间复杂度为：O(M+N )
示例3
cpp
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}Func4执⾏的基本操作次数：T(N) = 100
根据推导规则得出：Func3的时间复杂度为：O（1）
（100为常数项，用常数1来取代常数）
示例4
cpp
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char* str, int character)
{
const char* p_begin = str;
while (*p_begin != character)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}这一段代码是在一个字符串中找到我们想要的字符
strchr执⾏的基本操作次数：
（1）若要查找的字符在字符串第⼀个位置，则： T ( N ) = 1
（2）若要查找的字符在字符串最后的⼀个位置， 则： T ( N ) = N
（3）若要查找的字符在字符串中间位置，则： T ( N ) = N / 2
strchr的时间复杂度分为：
最好情况： O (1)
最坏情况： O ( N )
平均情况： O ( N ) （1/2高阶项系数可以忽略不计）
通过上⾯我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。
最坏情况：任意输⼊规模的 最⼤运⾏次数(上界)
平均情况：任意输⼊规模的 期望运⾏次数
最好情况：任意输⼊规模的 最⼩运⾏次数(下界)
⼤O的渐进表⽰法 在实际中⼀般情况 关注的是算法的上界 ，也就是 最坏运⾏情况 。
示例5
cpp
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t j = 0; j < n - 1; j++)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 0; i < n - 1 - j; i++)
{
if (a[i + 1] < a[i])
{
Swap(&a[i + 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}外层循环：j------> 0 1 2 3............n-3 n-2 n-1
内层循环次数： n-1 n-2 n-3 n-4......... 2 1 0
1）若数组有序，则：T ( N ) = N - 1
2）若数组有序且为降序，则：T ( N ) = N ∗ ( N - 1) /2
3）若要查找的字符在字符串中间位置，则：（ 首项+末项）*项数/2
因此：BubbleSort的 时间复杂度取最差情况 为： O ( N^ 2 )==O(N*N)示例6
cppvoid func5(int n) { int cnt = 1; while (cnt < n) { cnt *= 2; } }当n=2时，执⾏次数为1
当n=4时，执⾏次数为2
当n=16时，执⾏次数为4
假设执⾏次数为 x ，则 2*^* x = n ， 执⾏次数： x = log2( n ) ------2为底数
因此：func5的时间复杂度取最差情况为*:* O (log 2(n ) )
当 n接近⽆穷⼤ 时， 底数的⼤⼩对结果影响不⼤ 。
因此，⼀般情况下不管底数是多少都可以省略不 写，即可以表⽰为 log n
示例7
cpp
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
int f ( unsigned int n )
{
if (n == 0 || n==1)
return 1;
else
return n * f(n-1);
}调⽤⼀次Fac函数的时间复杂度为 O(1), 在Fac函数中，存在 （n-1)次递归调⽤Fac函数
因此： 阶乘递归的时间复杂度为：单次的递归的时间复杂度*递归次数 ==O(1)*(N-1)==O(N)
保留高阶项，省略常数项
空间复杂度
空间复杂度也是⼀个数学表达式，是对⼀个算法在运⾏过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。空间复杂度不是程序占⽤了多少bytes的空间，因为 常规情况每个对象⼤⼩差异不会很⼤ ，所以 空间复杂度算的是变量的个数 。 空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使⽤⼤O渐进表⽰法。
注意：函数运⾏时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间就已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在 运⾏时候显式申请的额外空间 来确定
示例1
cpp
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}函数栈帧在编译期间已经确定好了，只需要关注函数在运⾏时额外申请的空间。 BubbleSort额外申请的空间有exchange等有限个局部变量，使⽤了常数个额外空间
因此空间复杂度为 O(1),1代表的是常数。
示例2
cpp
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}Fac递归调⽤了N次 ，额外开辟了N个函数栈帧，每个栈帧使⽤了常数个空间 (空间复杂度O（1） ）
因此空间复杂度为：单次的递归的空间复杂度*递归次数==O(1)*N == O ( N )
示例3
通过动态内存申请内容也涉及到空间复杂度的计算，比如下面这个代码
cpp
int func(int n)
{
int arr[n]=malloc(sizeof(int)*n);
}这里使用malloc向内存申请了n个整型大小的空间，它的空间复杂度是O（n）
示例4
cpp
//求fun的空间复杂度？
int** fun(int n)
{
int ** s = (int **)malloc(n * sizeof(int *));
while(n--)
s[n] = (int *)malloc(n * sizeof(int));
return s;
}此处开辟的是一个二维数组
数组有n行
每行分别有1,2,3,...n列
所以是n(n + 1)/2个元素空间，空间复杂度为O（n^2）
常见复杂度对比
我们可以看到，O(n^2),O(2^n),O(n!),当n的值越来越大时，时间复杂度变化得越来越快，我们当然是希望时间复杂度变化得慢一些，所以我们会通过时间复杂度来优化代码。
比如下面的旋转数组的例子
旋转数组
接下来，我们来看看下面的旋转数组问题
在这里，我们很容易想到使用两个循环，把最后一个数据保存下来，前面的数据依次往后面移动，再把最后一个数据放在第一个，可以得到下面的代码：
cpp
//旋转数组
#include<stdio.h>
void rorate(int* arr, int sz, int n)
{
while (n--)
{
int end = arr[sz - 1];//最后一个数据保存下来
for (int i = sz - 1; i > 0; i--)
arr[i] = arr[i - 1];
arr[0] = end;//最后一个数据放在第一位
}
}
void print_arr(int* arr, int sz)
{
for (int i = 0; i < sz; i++)
printf("%d ", arr[i]);
}
int main()
{
int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int n = 0;
print_arr(arr, sz);
printf("\n请输入逆置数据个数：");
scanf("%d", &n);
rorate(arr, sz, n);
print_arr(arr, sz);
return 0;
}
在了解复杂度的基础上，我们可以计算出函数rorate的时间复杂度是O（N^2），当N越来越大时，时间复杂度也会很大，有没有什么方法可以优化呢？
优化1
有一种思路是我们可以 申请新数组空间 ，先将 后k个数据放到新数组 中，再将 剩下的数据挪到新数组 中 ，最后再把新数组元素赋值到原数组中。
cpp
#include<stdio.h>
void rorate(int* arr, int sz, int n)
{
int newArr[7];//VS不支持变长数组，这里直接创建一个7个整型元素的新数组
int i = 0;
for (i = 0; i < sz; i++)
{
newArr[(i + n) % sz] = arr[i];
}
for (i = 0; i < sz; i++)
{
arr[i] = newArr[i];
}
}
void print_arr(int* arr, int sz)
{
for (int i = 0; i < sz; i++)
printf("%d ", arr[i]);
}
int main()
{
int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int n = 0;
print_arr(arr, sz);
printf("\n请输入旋转数据个数：");
scanf("%d", &n);
rorate(arr, sz, n);
print_arr(arr, sz);
return 0;
}
这个方法中，函数rorate的时间复杂度就是O（n），系数2忽略不计
这里创建了一个数组，事实上是用 空间换时间来达到了优化
优化2
还有一种更加巧妙的方式，采用了多次逆置的方式，这种方法不容易想到
我们以arr[7]轮转3个数字为例
• 前n-k个逆置： 4 3 2 1 5 6 7
• 后k个逆置 ：4 3 2 1 7 6 5
• 整体逆置 ： 5 6 7 1 2 3 4
cpp
#include<stdio.h>
void reverse(int* arr, int begin, int end)
{
while (begin < end)
{
int temp = arr[begin];
arr[begin] = arr[end];
arr[end] = temp;
begin++;
end--;
}
}
void rorate(int* arr, int sz, int n)
{
n = n % sz;
reverse(arr, 0, sz - 1 - n);
reverse(arr, sz - n, sz - 1);
reverse(arr, 0, sz - 1);
}
void print_arr(int* arr, int sz)
{
for (int i = 0; i < sz; i++)
printf("%d ", arr[i]);
}
int main()
{
int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
int n = 0;
print_arr(arr, sz);
printf("\n请输入旋转数据个数：");
scanf("%d", &n);
rorate(arr, sz, n);
print_arr(arr, sz);
return 0;
}