算法学习day13(动态规划)

2301_781913052024-07-15 22:46

一、打家劫舍III

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。

除了 root 之外，每栋房子有且只有一个"父"房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到"这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树"。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。

父节点和子节点不能同时偷(因为是直接相连的房子)

dp[0]/dp[1]:分别代表该节点上不偷和偷的最大值

思路：在树形结构中，采用后序遍历，左右中的顺序，从下往上求每一个节点的最大价值。

**如果该节点不偷,**那么下一节点可以偷，也可以不偷，dp[0]=下一节点偷或不偷的最大值；

**如果该节点偷，**那么下一节点就不可以偷，dp[1]=root.val+left[0]+right[0];

代码：

class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] res=robTree(root);
        return Math.max(res[0],res[1]);
    }
    //递归函数
    public int[] robTree(TreeNode root){
        int[] result=new int[2];
        //终止条件        
        if(root==null)return result;
        //单层递归逻辑
        int[] left=robTree(root.left);
        int[] right=robTree(root.right);
        //该节点不偷 孩子节点就可以偷
        result[0]=Math.max(left[0],left[1])+Math.max(right[0],right[1]);
        //该节点偷，孩子节点就不能偷
        result[1]=root.val+left[0]+right[0];
        return result;
    }
}

股票问题

二、买卖股票的最佳时机I(一次遍历/动态规划)

一次遍历(贪心)：

如果price[i]<minprice,更新minprice;

如果price[i]>=minprice,看price[i]-minprice是否大于maxprofit，大于的话就更新

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int minprice = Integer.MAX_VALUE;
        int maxprofit = 0;
        for (int i = 0; i < prices.length; i++) {
            if (prices[i] < minprice) {
                minprice = prices[i];
            } else if (prices[i] - minprice > maxprofit) {
                maxprofit = prices[i] - minprice;
            }
        }
        return maxprofit;
    }
}
动态规划：

注意：题目要求是买入和卖出只能一次，也就是只能在某一天买入或者某一天卖出

1.dp[i][0/1]:0代表该天不持有股票，1代表该天持有股票。dp[i][0/1]:代表该天可以获得最大利润

2.递推公式：

2.1 dp[i][0]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天把股票卖了。

dp[i][0](第i天不持有股票)=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);

2.2 dp[i][1]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天买入股票

dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);

3.初始化：dp[0][0]:0 dp[0][1]:-prices;

4.遍历：从1开始到prices.length

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices==null||prices.length==0)return 0;
        // dp[x][0]:第x天不持有股票;dp[x][1]:第x天持有股票
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];

        //注意dp[i][1]的递推公式 只能买入/卖出一次和每天买入/卖出的区别
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], - prices[i]);
        }
        return Math.max(dp[prices.length - 1][0], dp[prices.length - 1][1]);
    }
}

三、买卖股票的最佳时机II(贪心/动态规划)

可以在某一天买入，同一天卖出。买入卖出允许多次。

贪心：如果prices[i]>prices[i-1] 直接加利润
class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int sumProfit=0;
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            if(prices[i]-prices[i-1]>0){
                sumProfit+=prices[i]-prices[i-1];
            }
        }
        return sumProfit;
    }
}
动态规划：

这个题和I的区别在于：上一道题只能一天买入，一天卖出。买入卖出的次数仅是1；而这一道题买入卖出的次数可以是多次。因此在状态方程上要发生变化

递推公式：

dp[i][0]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天把股票卖了。

dp[i][0](第i天不持有股票)=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);

dp[i][1]可能是延续上一天的状态，也可能是在这一天买入股票

dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0)
            return 0;
        // 定义dp数组
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        // 初始化dp数组
        dp[0][0] = 0;// 不占有股票
        dp[0][1] = -prices[0];// 占有股票
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        }
        return Math.max(dp[prices.length - 1][0], dp[prices.length - 1][1]);
    }
}

四、买卖股票的最佳时机III（只可以买卖两次）

dp[prices.length][5]:dp数组的五个状态

不操作:dp[i][0]=dp[i-1][0];

第一次持有:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

第一次不持有:dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);

第二次持有:dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);

第二次不持有:dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);

初始化：

dp[0][0] = 0;

dp[0][1] = -prices[0];

dp[0][2] = 0;

dp[0][3] = -prices[0];

dp[0][4] = 0;

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0)
            return 0;
        // 只能买卖两次 dp五种状态 不操作 第一次持有 第一次不持有 第二次持有 第二次不持有
        int[][] dp = new int[prices.length][5];
        // dp数组初始化
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0];
        dp[0][4] = 0;
        // 遍历数组
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][4];
    }
}

五、买卖股票的最佳时机IV(k次交易)

从III找出规律来，两次交易，dp状态会有五次。k次交易，dp状态就会有2k+1次。

定义dp数组:dp[prices.length][2*k+1];

状态分别是：第一次不操作；第一次占有/第一次不占有；第二次占有/第二次不占有；.....；第k次占有/第k次不占有

dp数组初始化：

dp[0][0] = 0;

dp[0][1] = -prices[0]; dp[0][2] = 0; 第一次占有/不占有

dp[0][3] = -prices[0]; dp[0][4] = 0; 第二次占有/不占有

dp[0][2k-1]=-prices[0]; dp[0][2k]=0; 第k次占有/不占有

dp数组遍历：

不操作:dp[i][0]=dp[i-1][0];

第一次持有:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

第一次不持有:dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);

第二次持有:dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);

第二次不持有:dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);

找规律:

等于0， =dp[i-1][0];

不等于0，并且是偶数：+prices[i];

不等于0，并且是奇数: -prices[i];

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if(prices==null||prices.length==0)return 0;
        //k次交易 定义dp数组
        int[][] dp=new int[prices.length][1+2*k];
        //初始化
        dp[0][0]=0;//不操作
        for(int i=1;i<1+2*k;i++){
            if(i%2==0){
                dp[0][i]=0;
            }else{
                dp[0][i]=-prices[0];
            }
        }
        //进行遍历dp数组
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            for(int j=0;j<1+2*k;j++){
                if(j==0){
                    dp[i][0]=dp[i-1][0];
                }else if(j%2!=0){
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                }else if(j%2==0){
                     dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
                }
            }
        }
        return dp[prices.length-1][1+2*k-1];
    }
}

六、买卖股票的最佳时机(包含冷冻期)

冷冻期：在卖出股票后，无法在第二天在进行买入/卖出(冷冻期为一天)

dp[i][4]:四种状态 表示某一天某种状态下的最大利润

**占有股票:**dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][3]-prices[i],dp[i-1][1]-prices[i])

延续上一天占有股票的状态；冷冻期后的买入股票；不占有股票后的买入股票

**不占有股票:**dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);

延续上一天不占股票的状态；上一天卖出股票

**卖出股票:**dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];

上一天为占有股票

**冷冻期:**dp[i][3]=dp[i-1][2];

上一天为卖出股票

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //剪枝？
        if(prices==null||prices.length==0)return 0;
        /**
        创建dp数组 0：持有股票 1:不持有股票 2:卖出股票 3:冷冻期
         */
        int[][] dp=new int[prices.length][4];
        //初始化dp数组
        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        dp[0][2]=0;
        dp[0][3]=0;
        //遍历数组
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            //延续上一天占有股票的状态;不占有股票后的买入股票;冷冻期后的买入股票
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][3]-prices[i]));
            //延续上一天的不持有股票;冷冻期后的不持有股票
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3]);
            //上一天持有股票
            dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i];
            //上一天为卖出股票
            dp[i][3]=dp[i-1][2];
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][1],Math.max(dp[prices.length-1][2],dp[prices.length-1][3]));
    }
}

返回最大利润：要进行比较，因为最大利润可能出现在不持有股票/卖出股票/冷冻期三种情况中。

七、买卖股票的最佳时机含手续费

思路：其实跟II差不多，但是多了一个手续费，这里我们规定在每次卖出的时候需要付手续费。因为卖出肯定是买入之后的，就是买入卖出整个操作需要付手续费。

改变：在dp公式需要作出改变;

不占有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);

占有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

初始化：dp[0][0]=0;dp[0][1]=-prices[0];

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        //含有手续费 就会限制你进行买卖
        int[][] dp=new int[prices.length][2];
        //dp[i][0]:不占有股票 dp[i][1]:占有股票 买的时候扣手续费
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=0-prices[0];
        //初始化dp数组
        for(int i=1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);
            dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][0]; 
    }
}

买卖股票的最佳时机总结：

I:只能有一次买入/一次卖出

不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);

持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],-prices[i]);

II:可以进行多次买入/卖出

不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);

持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

III:只能进行两次买入/卖出

状态分为五种：不操作；第一次占有/第一次不占有；第二次占有/第二次不占有

dp[i][0]=dp[i-1][0];

dp[i][1]=dp[i-1][0]-prices[i];

dp[i][2]=dp[i-1][1]+prices[i];

dp[i][3]=dp[i-1][2]-prices[i];

dp[i][4]=dp[i-1][3]+prices[i];

有规律的。

IV:只能进行k次买入/卖出

状态共有：2k+1次。

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]±prices[i]； j为偶数+；j为奇数-；

V:包含冰冻期

状态共有四种：

占有股票:dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],Math.max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i][3]-prices[i]))；

不占有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][3])；

卖出股票:dp[i][2]=dp[i-1][0]+prices[i]；

冰冻期:dp[i][3]=dp[i-1][2];

VI:含有手续费

在II的基础上，添加手续费。每次在交易完成的时候要付出手续费，在卖出股票时候。

不持有股票：dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);

持有股票:dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);

子序列问题:

八、最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

复制代码 
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4

思路：

1.dp[i]:表示从0到i,最长子序列的长度

2.dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);

递推公式如何来的:根据dp[i]的含义,要找到nums[j]<nums[i]的元素，然后在dp[j]的基础上+1；

但是nums[j]不仅仅有一个，因此每次取dp[i],和dp[j]+1的较大的。

3.初始化：所有元素初始化为1

4.遍历顺序从1开始。双层for循环寻找nums[j]<nums[i]的元素,并且更新dp[i]

注意：最大值不是dp[nums.length-1],而是dp数组中的最大值。

代码：

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        //定义dp数组
        int[] dp=new int[nums.length];
        //初始化
        Arrays.fill(dp,1);
        //双层for循环遍历
        int max=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
                    max=Math.max(max,dp[i]);
                }
            }
        }
        return max;
    }
}

九、最长连续递增序列(比较简单)

不需要双层for循环寻找比nums[i]小的元素了。因为题目要求子序列必须是连续的。

代码：

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp=new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1);
        int max=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>nums[i-1]){
                dp[i]=dp[i-1]+1;
                max=Math.max(max,dp[i]);
            }
        }
        return max;
    }
}

十、最长重复子数组

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度。

思路：

1.dp[i][j]:遍历到i-1,j-1的最长公共子数组的长度

2.if(nums[i-1]==nums[j-0])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

3.初始化都为0，因为是从i-1,j-1(-1 -1开始的)。相当于多加了一行一列，这样就不用多用两个循环去初始化原本的第一行第一列。让所有工作交给遍历

4.从i和j分别从1,1开始到nums1.length,nums2.length;

代码：

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1=nums1.length;
        int len2=nums2.length;
        int max=0;
        int[][] dp=new int[len1+1][len2+1];
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                    max=Math.max(max,dp[i][j]);
                }
            }
        }
        return max;
    }
}

十一、最长公共子序列(和上一题类似也有不同)

不同：上一道题要求的是子数组是连续的，因此如果nums1[i]==nums2[j]的时候,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;况且只能由[i-1][j-1]而来;

而这一道题不要求序列是连续的，因此当text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1) 的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；如果不相等的话，可以由dp[i-1][j]和dp[i][j-1]得到。

类似：和上一题一样，为了减少初始化时for循环的复杂，多加一行一列，dp[len1+1][len2+1]。

然后初始化由遍历帮助我们完成

代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int len1=text1.length();
        int len2=text2.length();
        int[][] dp=new int[len1+1][len2+1];
        
        int result=0;
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }else{
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
                result=Math.max(result,dp[i][j]);
            }
        }
        printfDp(dp);
        return result;
    }
    public void printfDp(int[][] dp){
        for(int[] arr:dp){
            for(int i:arr){
                System.out.print(i+" ");
            }
             System.out.println("");
        }
    }
}

十二、最大子序和（贪心/动态规划）

贪心：

如果前面的值是负的，那么就不加(加上拖后腿)

如果前面的值是正的，再加(加上更大)

代码：

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int result=Integer.MIN_VALUE;
        int count=0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            count+=nums[i];
            if(count>result)result=count;
            if(count<0)count=0;
        }
        return result;
    }
动态规划：

1.dp[i]:从0->i,最大的子序列的和

2.if(dp[i-1]>0)dp[i]=dp[i-1]+nums[i];else dp[i]=nums[i]

3.初始化:dp[0]=nums[0];

4.从i=1开始遍历

十三、判断子序列(双指针/动态规划)

双指针：

定义slow，fast指针。slow指向s串，fast指向t串。如果fast遍历到末尾以及之前，slow也可以遍历到末尾，那么就包含。

代码：

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int sLen=s.length();
        int tLen=t.length();
        if(sLen>tLen)return false;
        int slow = 0;
        int fast = 0;

        while(fast<tLen){
            if(slow==sLen)return true;
            else{
                if(t.charAt(fast)==s.charAt(slow)){
                    slow++;
                }
                fast++;
            }
        }
        return slow==sLen;
    }
}

注意：如果是slow和fast同时到达末尾的话，那么while(fast<tLen)最后一次就没进去，但此时slow==sLen,就无法判断到。因此返回的时候应该写：return slow==sLen;

动态规划（类似于求最长公共子序列的长度）:

如果最长子序列的长度==s串的长度，那么就返回true。

class Solution {
    public boolean isSubsequence(String s, String t) {
        int sLen = s.length();
        int tLen = t.length();
        if (sLen > tLen)
            return false;
        // 定义dp数组
        int[][] dp = new int[sLen + 1][tLen + 1];
        // 遍历dp数组(初始化dp数组放到遍历中)
        int max = 0;
        for (int i = 1; i <= sLen; i++) {
            for (int j = 1; j <= tLen; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                }
                max = Math.max(dp[i][j], max);
            }
        }
        printfDp(dp);
        System.out.println(max);
        return max == sLen;
    }
    public void printfDp(int[][] dp){
        for(int[] arr:dp){
            for(int i:arr){
                System.out.print(i+" ");
            }
            System.out.println(" ");
        }
    }

十四、不同的子序列(回溯法/动态规划)

回溯法：超时..

代码：

class Solution {
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    int count = 0;

    public int numDistinct(String s, String t) {
        if(s.length()<t.length())return 0;
        backTracking(s, t, 0);
        return count;
    }

    public void backTracking(String s, String t, int startIndex) {
        // 终止条件
        if (sb.toString().equals(t)) {
            count++;
            return;
        }
        if (startIndex >= s.length())
            return;
        // 单层递归逻辑
        for (int i = startIndex; i < s.length(); i++) {
            sb.append(s.charAt(i));
            backTracking(s, t, i + 1);
            sb.deleteCharAt(sb.length() - 1);
        }
    }
}
动态规划：

1.dp[i][j]:以i-1为结尾的s中有多少个以j-1为结尾的t (方便操作 不用初始化了)

2.递推公式(难以理解)

if(s.charAt(i)==t.charAt(j))dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+dp[i-1]dp[j];

else dp[i][j]=dp[i-1][j];

如何理解：

当 s[i-1] 与 t[j-1] 不相等时
  • dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 解释：此时我们不能用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]，所以只能看 s[0...i-2] 中有多少个 t[0...j-1] 的子序列。
当 s[i-1] 与 t[j-1] 相等时
  • dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
  • 解释：我们有两种选择：
    1. 用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]：此时我们需要看 s[0...i-2] 中有多少个 t[0...j-2] 的子序列，这就是 dp[i-1][j-1]。
    2. 不用 s[i-1] 来匹配 t[j-1]：此时我们需要看 s[0...i-2] 中有多少个 t[0...j-1] 的子序列，这就是 dp[i-1][j]。

3.初始化：dp[i][0]=1;dp[0][j]=0;

4.遍历顺序 1 1

代码：

class Solution {
    public int numDistinct(String s, String t) {
        int[][] dp = new int[s.length() + 1][t.length() + 1];
        for (int i = 0; i < s.length() + 1; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < s.length() + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < t.length() + 1; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        
        return dp[s.length()][t.length()];
    }
}
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