高等数学第三讲: 一元函数微分学的概念

文章目录

[第三讲一元函数微分学的概念](#第三讲一元函数微分学的概念)
1.导数的定义
- [1.1 连续，可导，可微之间的关系](#1.1 连续，可导，可微之间的关系)
- [1.2 相关知识积累](#1.2 相关知识积累)
2.导数的几何意义
3.高阶导数
4.微分

第三讲一元函数微分学的概念

1.导数的定义

本节很重要，同时也很难，在学习的过程中需要积累一些结论

导数的定义 ：自变量增加一个Δx(可正可负），Δx趋近于0，函数增量和自变量增量的比值存在，则称y=f(x)在x0处可导。这个极限值叫y=f(x)在x₀处的导数。

导数定义的公式：
lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 − x ) − f ( x 0 ) Δ x 令 x 0 + Δ x = x 得， lim ⁡ Δ x → 0 f ( x ) − f （ x 0 ） x − x 0 \lim \limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0} - x\right) - f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\\令x_{0} + \Delta x = x得，\lim \limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left(x\right) - f（x_{0}）}{x - x_{0}} Δx→0limΔxf(x0−x)−f(x0)令x0+Δx=x得，Δx→0limx−x0f(x)−f（x0）

在做题配凑中，我们只需要关注方块中内容一致，配出导数定义

注意：一个是趋近于0，一个是趋近于a，都是让三个空一致，上面是2个a，下面是3个a

若f(x)在一点可导，则f(x)在该点连续，反之未必。

1.1 连续，可导，可微之间的关系

可导可微之间是互推的，所以讨论连续的时候，只讨论可导和连续之间的关系就可
可导必连续，反之未必。

某点可导，某点必连续。某个函数可导，某个函数必连续。

1.2 相关知识积累

1.可能是不可导点的点有哪些类型？

不可导点就是导数不存在的点

绝对值为零的点
分段函数分段点
以及求导后分母为零的点

2.可导能推出存在切线，但是反之不行。

3.常用的一些反例积累：

(1) y=|x|

4.绝对值在某点处可导的充要条件结论

结论来源：武忠祥高等数学辅导讲义57页
设f(x)=φ(x)|x-a|,其φ(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是φ(a)=0.

扩展结论，|x|在0点处不可导，但是x|x|就可导了，同理｜x-2｜不可导，(x-2)|x-2|就可导了

5.f(x)和｜f(x)｜连续，可导的关系总结

结论来源：张宇高等数学18讲(强化)91页

2.导数的几何意义

导数的几何意义 ：

函数变化的速率，函数切线斜率值构成的函数，导数值对应函数该点切线斜率值

如何证明导数存在？

1.有的问题让你证明某一个东西的导数存在，并给出了你一个极限值，我们可以通过配凑的方法把它拆分成两部分，一部分是我们要证明的导数定义，另一部分任意。通过存在=存在+存在，如果另一部分存在极限值，那么我们证明的部分导数一定存在。

2.导数左右极限存在且相等（充要条件）

3.高阶导数

高阶导数就是在导数的定义的基础上，函数值变成了导数值，二阶导数就是一阶导数值，以此类推。

注意：

f(x)在点x₀处有二阶导数，则f(x)在x₀的某个邻域内有一阶导数且f'(x)在x₀处连续
如果f(x)在点x₀处有n阶导数，则f(x)在x₀的某个邻域内有1～（n-1）阶的各阶导数。

4.微分

概念：

微分也是在∆x趋近0的情况产生的，明确一点，∆x和dx本质是一样的是x趋近于0的变化，∆y和dy本质是不同的，∆y是真实的变化，dy是我们线性化后得到的简化版的∆y。
∆y=A∆x+o(∆x)，o(∆x)这个更高阶的无穷小，我们可以理解为减去他，只是在书写上用的加法，类似于两个图形的重叠部分，两个图形足够小，他们的重叠部分只会更小，如果o(∆x)与∆x做极限等于0，也就说明o(∆x)可以被省略，也就是说明该点处存在微分，即∆y=A∆x ，∆y与∆x做极限的值=A，其实也就是A=该点的导数值，即∆y=f'(x)∆x