一、换元积分法的基本思想
换元积分法就像"搭积木"，通过变量替换把复杂积分变成简单积分。主要有两种方法：
- 第一类换元法（凑微分法）
- 核心：把被积函数的一部分和dx凑成新的微分
- 口诀："看结构，凑微分，换变量，求积分"
- 第二类换元法
- 核心：直接设新的变量替换
- 常用于含根式的积分
二、第一类换元法详解
我们通过具体例子来理解：
例1：计算 ∫2x·cos(x²)dx
解：
- 观察发现x²的导数是2x，正好有2xdx
- 设u=x²，那么du=2xdx
- 原式=∫cos(u)du=sin(u)+C
- 代回u=x²，得sin(x²)+C
例2：计算 ∫(3x+1)⁵dx
解：
- 设u=3x+1，du=3dx → dx=du/3
- 原式=∫u⁵·(du/3)=1/3·∫u⁵du
- =1/3·(u⁶/6)+C=u⁶/18+C
- 代回u=3x+1，得(3x+1)⁶/18+C
三、第二类换元法详解
这种方法特别适合处理含有根号的积分。
例3：计算 ∫√(1-x²)dx
解：
- 设x=sinθ，dx=cosθdθ
- √(1-x²)=√(1-sin²θ)=cosθ
- 原式=∫cosθ·cosθdθ=∫cos²θdθ
- 利用cos²θ=(1+cos2θ)/2
- =∫(1+cos2θ)/2 dθ=θ/2+sin2θ/4+C
- 代回θ=arcsinx，得：
arcsinx/2 + x√(1-x²)/2 + C
四、常见凑微分公式（重点记忆）
- ∫f(ax+b)dx = (1/a)F(ax+b)+C
- ∫xⁿ⁻¹f(xⁿ)dx = (1/n)∫f(xⁿ)d(xⁿ)
- ∫eˣf(eˣ)dx = ∫f(eˣ)d(eˣ)
- ∫[f(lnx)/x]dx = ∫f(lnx)d(lnx)
五、注意事项
- 换元后dx也要跟着变
- 最后一定要换回原变量
- 遇到三角函数积分时，常用这些恒等式：
- sin²x + cos²x = 1
- 1 + tan²x = sec²x