《高等数学》（同济大学·第7版）第四章第二节换元积分法

一、换元积分法的基本思想

换元积分法就像"搭积木"，通过变量替换把复杂积分变成简单积分。主要有两种方法：

1. 第一类换元法（凑微分法）

• 核心：把被积函数的一部分和dx凑成新的微分
• 口诀："看结构，凑微分，换变量，求积分"

2. 第二类换元法

• 核心：直接设新的变量替换
• 常用于含根式的积分

二、第一类换元法详解

我们通过具体例子来理解：

例1：计算 ∫2x·cos(x²)dx

解：

1. 观察发现x²的导数是2x，正好有2xdx
2. 设u=x²，那么du=2xdx
3. 原式=∫cos(u)du=sin(u)+C
4. 代回u=x²，得sin(x²)+C

例2：计算 ∫(3x+1)⁵dx

解：

1. 设u=3x+1，du=3dx → dx=du/3
2. 原式=∫u⁵·(du/3)=1/3·∫u⁵du
3. =1/3·(u⁶/6)+C=u⁶/18+C
4. 代回u=3x+1，得(3x+1)⁶/18+C

三、第二类换元法详解

这种方法特别适合处理含有根号的积分。

例3：计算 ∫√(1-x²)dx

解：

1. 设x=sinθ，dx=cosθdθ
2. √(1-x²)=√(1-sin²θ)=cosθ
3. 原式=∫cosθ·cosθdθ=∫cos²θdθ
4. 利用cos²θ=(1+cos2θ)/2
5. =∫(1+cos2θ)/2 dθ=θ/2+sin2θ/4+C
6. 代回θ=arcsinx，得：
   arcsinx/2 + x√(1-x²)/2 + C

四、常见凑微分公式（重点记忆）

1. ∫f(ax+b)dx = (1/a)F(ax+b)+C
2. ∫xⁿ⁻¹f(xⁿ)dx = (1/n)∫f(xⁿ)d(xⁿ)
3. ∫eˣf(eˣ)dx = ∫f(eˣ)d(eˣ)
4. ∫[f(lnx)/x]dx = ∫f(lnx)d(lnx)

五、注意事项

1. 换元后dx也要跟着变
2. 最后一定要换回原变量
3. 遇到三角函数积分时，常用这些恒等式：
   • sin²x + cos²x = 1
   • 1 + tan²x = sec²x