【3D编程技巧】如何用四元数旋转矢量在相机空间进行光照计算

这里介绍一个小TIPS，很久没有这么有成就感了。我以前在学3D数学的时候，书上就有一句话，说你把矢量这些东西用久了，就应该形成一种"直觉"，仿佛这些东西就是你的左右手一样。而这次，我居然真的用"直觉"来解决问题了，可以说是"瞎猫碰到死耗子"式的解决问题方法：

（一）问题起因

我现在在写的是一个软件光栅化的引擎。在软件光栅化的阶段，有两个地方可以进行光照渲染，一个是在世界空间下进行，一个是在相机空间下进行。在世界空间下进行会很方便，因为光照并不涉及旋转，而只是涉及平移。但是，因为矩阵乘法可以结合，所以从物体空间变换到世界空间再变换到相机空间，这两个矩阵可以合二为一，因为我是写软件光栅化，所以节约一些算力是有必要的。

（二）矢量旋转的问题

我有一个平行光。平行光是没有距离的，只有方向，这个方向用一个矢量（像Vector3(1,1,1)这样）。但在旋转中有两个问题：

1、矢量的旋转不像点的旋转。顶点是可以通过矩阵进行旋转的，但是矢量不行。虽然在数学上矢量和点都是等价的。但是因为旋转属于非线性变换，所以最终在数学上的结果（归一化）之后，这个矢量方向其实不是你想要的矢量。

2、从世界空间到相机空间的旋转，其实是一个旋转的逆运算。也就是说，相机的Rotation，不是将世界空间按这个Rotation旋转，而是要做逆旋转。

（三）解决的过程

当时我想了一些歪门邪道。开始的时候我尝试用两个点记录位置。比如将矢量转化为P1和P2。然后使用这P1和P2进行相机旋转，因为P1和P2就是两个点，点旋转之后，之间的位置关系是不变的。在旋转之后，再取这两个点计算矢量方向。理论上应该可行，但不知道为什么失败了。

后来我将角度反转，然后进行四元数的矢量旋转乘法，四元数的矢量乘法公式如下：

V=要变换的矢量（要进行齐次变化，W设置为0），Q=旋转的四元数，Q-1=四元数的逆

V = Q * V * (Q-1)

没到想居然成功了。这样得到的矢量居然是可以用的。光照计算没有问题。但是为什么我说瞎猫碰到死耗子？因为在我的变换矩阵中有一个BUG。相机变换矩阵是按照XYZ三个轴进行变换的。我使用的是Unity的规则，按照Z-X-Y（Roll-Pitch-Yaw）的顺序变换。我在写相机变换矩阵的时候，也是这么写的。但是我忘记了，相机变换是一个逆变换，其实应该写成Y-X-Z变换的。其实先后顺序只是规则的问题，你怎么写，实际变换上也不会出错。所以我一开始没看出这个BUG。

但是后来我在进行相机的旋转控制的时候，我发现我的旋转控制有问题：在进行了Yaw的旋转之后，再使用Pitch会沿Y轴旋转，而不是在地平线旋转。虽然在数学上这没有问题，但做为玩家控制来说有大问题。这也是为什么Unity使用Z-X-Y旋转顺序的原因。

然后查出BUG之后，才知道是我的旋转搞错了。我就把旋转改了。但这样一改，原来那个我将角度反转之后，再利用四元数旋转的方法就失灵了，得到的是一个错误的结果。

（四）解决方法

这里就是靠"直觉"解决问题了。如果将角度反转没有作用，那么，将四元数的运算反转呢？这是一个突发奇想，我在教程，书里面都没有见过这种说法，所以我说"瞎猫碰到死耗子"，当然，这应该也有其它书里面说，只是我没看到而已。但总之这个思路解决了问题。只需要将四元数旋转的运算改变，就能够得到一个能成功变换到相机空间的矢量：

使用逆运算公式：V = (Q-1) * V * Q

cpp 复制代码

// 旋转矢量
Vector3 RotateDirection(Vector direction, Quaternion rotation)
{
    Quaternion re(rotation.GetEular());
    Vector3 transDirection = re.RotateMulInverse(direction);
    return transDirection.Normalize();
}

// 求四元数的逆
Quaternion Quaternion::GetInverse(void) const {
	// 这是四元数的长度
    // 因为四元数长度始终是单位1，所以其实这一步可以省，只要你确保它没发生蠕变
	float len = Magnitude(); 
	return Quaternion(-x / len, -y / len, -z / len, w / len);
}

// 四元数的乘法（正常）
Vector3 Quaternion::RotateMul(const Vector3& v) const {
	Quaternion vq(v.x, v.y, v.z, 0.0);
	Quaternion r = *this * vq * this->GetInverse();
	return Vector3(r.x, r.y, r.z);
}

// 四元数的乘法（逆向）
Vector3 Quaternion::RotateMulInverse(const Vector3& v) const {
	Quaternion vq(v.x, v.y, v.z, 0.0);
	Quaternion r = this->GetInverse() * vq * (*this);
	return Vector3(r.x, r.y, r.z);
}

OK。以上就是解决方案了。