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[情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红](#情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红)
[情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑](#情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑)
[Insert 代码](#Insert 代码)
前言
💬 hello! 各位铁子们大家好哇。
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红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。(不存在连续的红节点)
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点(每条路径都存在相同数量的黑色节点)
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
注意：这里的叶子节点指的是空节点，也就是上图中的NIL节点。NIL节点也方便我们数路径，有几个NIL节点，就有几条路径。
最长路径<=最短路径*2 （最长路径就是一红一黑间隔，最短路径就是全黑）
节点的定义
红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
- 按照二叉搜索的树规则插入新节点
- 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
新节点的默认颜色是红色，因此：如果其父亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的父亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论。
检测操作：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
上图是抽象图，a/b/c/d/e代表每条路径有x个黑色节点的红黑子树，且x>=0。
注意：这里所看到的树，可能是一棵完整的树，也可能是一棵子树。
假设此时x==0，cur就是新增节点。
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
如果g是根节点，调整完成后，将g改成黑色。
如果g是子树，g一定有父亲，如果父亲是红色，就继续往上调整，如果父亲是黑，就结束。
如果x==1，c/d/e就是m/n/p/q四种组合之一。此时新增节点的位置就是a和b的孩子之一。
方法跟上面x==0的情况一样。
情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
说明：u的情况有两种：
- 若u不存在，则cur就是新插入节点。因为如果cur不是新插入节点，cur和p一定有一个节点是黑色的，就不满足性质4：每条路径的黑色节点个数相同。
- 若u存在且为黑，则 cur原来的颜色一定是黑的，现在看到是红色是因为cur子树在调整过程中将cur的颜色由黑色改成红色，如下图：
解决方式：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；
相反， p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色--p变黑，g变红
情况二的双旋情况：
解决方法：
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；
相反， p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转。则转换成了情况2的单旋情况 ，再按照情况2单旋的方法解决。
Insert 代码
cpp
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK; //根节点默认黑色
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED; //新增节点给红色
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
//父亲的颜色是黑色也结束
while (parent && parent->_col == RED)
{
//关键看叔叔
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
//如果叔叔存在也为红->变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //叔叔不存在，或者存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
//单旋
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
//双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
//如果叔叔存在也为红->变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //叔叔不存在，或者存在且为黑
{
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
//始终保持根为黑
_root->_col = BLACK;
return true;
}红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列）
- 检测其是否满足红黑树的性质
cpp
bool IsBalance()
{
if (_root->_col == RED)
{
return false;
}
int refNum = 0; //取其中一条路径作为参考值
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root,0,refNum);
}
private:
bool Check(Node* root,int blackNum,const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left,blackNum,refNum)
&& Check(root->_right,blackNum, refNum);
}红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(logN)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红 黑树更多。
完整代码
cpp
#pragma once
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _kv(kv)
, _col(RED)
{}
};
template<class K,class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK; //根节点默认黑色
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED; //新增节点给红色
if (parent->_kv.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
//父亲的颜色是黑色也结束
while (parent && parent->_col == RED)
{
//关键看叔叔
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
//如果叔叔存在也为红->变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //叔叔不存在，或者存在且为黑
{
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
// c
//单旋
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
//双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_left;
//如果叔叔存在也为红->变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else //叔叔不存在，或者存在且为黑
{
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
//始终保持根为黑
_root->_col = BLACK;
return true;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) //节点可能为空
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent; //旧父节点变成subL的右节点
Node* ppNode = parent->_parent; //该不平衡节点可能不是根节点，所以要找到它的父节点
parent->_parent = subL;
if (parent == _root) //如果该节点是根节点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else //不平衡节点只是一棵子树
{
if (ppNode->_left == parent) //如果旧父节点等于爷爷节点的左节点，新父节点为爷爷节点的左节点
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode; //新父节点指向爷爷节点。
}
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
bool IsBalance()
{
if (_root->_col == RED)
{
return false;
}
int refNum = 0; //取其中一条路径作为参考值
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root,0,refNum);
}
private:
bool Check(Node* root,int blackNum,const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left,blackNum,refNum)
&& Check(root->_right,blackNum, refNum);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
size_t _size = 0;
};
void RBTreeTest1()
{
//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14,8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
RBTree<int, int> t1;
for (auto e : a)
{
t1.Insert({ e,e });
//cout << "Insert:" << e << "->" << t1.IsBalance() << endl;
}
t1.InOrder();
cout << t1.IsBalance() << endl;
}