Python面试宝典第25题：括号生成

题目

数字n代表生成括号的对数，请设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

备注：1 <= n <= 8。

示例 1：

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输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

示例 2：

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输入：n = 1
输出：["()"]

递归法

使用递归法求解此问题的基本思想是：将生成有效括号序列的问题分解为更小的子问题。对于每一对括号，我们都可以看作是在已有的有效括号序列基础上，或者在其前后分别添加一个左括号和右括号。为了保证序列的有效性，我们需要确保任何时候左括号的数量都不少于右括号的数量。因此，可以采用递归的方式，逐步构建所有可能的序列。使用递归法求解本题的主要步骤如下。

1、定义递归函数。函数接受两个参数，left 表示还可以使用的左括号数量，right 表示还可以使用的右括号数量，以及当前已经构造的括号序列curr_str。

2、递归终止条件。当left和right都为0时，说明当前序列是一个有效的括号组合，将其加入结果列表。

3、递归生成左括号。如果还有左括号可用（left > 0），则在当前序列后添加一个左括号，然后递归调用自身，减小left的计数。

4、递归生成右括号。如果右括号的数量少于等于左括号（right <= left），则不能添加右括号，因为这会导致序列无效。否则，在当前序列后添加一个右括号，然后递归调用自身，减小right的计数。

5、回溯。在每次递归调用返回后，撤销之前的选择，即回到上一层继续尝试其他可能性。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

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def generate_brackets_by_recursion(n):
    def backtrack(left, right, curr_str, result):
        if left == 0 and right == 0:
            result.append(curr_str)
            return
        
        if left > 0:
            backtrack(left - 1, right, curr_str + '(', result)
        if right > left:
            backtrack(left, right - 1, curr_str + ')', result)

    result = []
    backtrack(n, n, '', result)
    return result

print(generate_brackets_by_recursion(3))
print(generate_brackets_by_recursion(1))

总结

递归法求解本题的时间复杂度主要取决于生成的括号组合的数量。对于n对括号，有效的括号组合数量遵循卡特兰数，其公式为C_n = (1/(n+1)) * (2n choose n)。卡特兰数的增长速度非常快，大约是 4^n / (sqrt(pi*n)*n^(3/2))。因此，时间复杂度为 O(C_n)，即：O(4^n / sqrt(n))。空间复杂度主要由递归栈的深度决定，最坏情况下，递归栈的深度为2n，故空间复杂度为O(n)。

递归法特别适合括号生成类问题，因为它能自然地表达出问题的结构，即通过逐步构建解的空间树来寻找所有可能的解。然而，当n接近上限（比如：n=8）时，生成的组合数量会非常庞大，这可能会对程序的执行时间和内存使用提出较高的要求。因此，在实际应用中需要考虑递归的深度和效率问题。