文章目录
子群与商群
奇偶置换
- 正规子群
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正规子群是群论中的一个重要概念，它描述了一个群与其子群之间的一种特殊关系。以下是对正规子群的详细解释：
定义
设G是一个群，H是G的子群。如果对于G中的任意元素g，都有gH=Hg（即H的左陪集与右陪集相等），则称H是G的正规子群或不变子群，记为H⊴G。
性质
- 平凡性：任何群G都有两个平凡的正规子群，分别是只含有幺元（单位元）的子群{e}（也称为平凡子群）和G本身。
- 交换群与正规子群：如果一个群是交换群（也称为阿贝尔群），那么这个群的所有子群都是正规子群。
- 共轭性：H是G的正规子群当且仅当H的所有共轭子群都等于H本身。
- 乘积与交集：如果H和K都是G的正规子群，则它们的乘积HK（如果可定义）和交集H∩K也都是G的正规子群。但需要注意的是，正规子群没有传递性，即G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群。
- 商群 ：如果H是G的正规子群，则可以定义商群G/H，它是由H的所有左陪集（或右陪集，因为它们是相等的）构成的集合，并赋予适当的运算使其成为群。
例子
- 平凡子群：对于任何群G，{e}和G本身都是G的正规子群。
- 特殊线性群：特殊线性群SL_n（即所有行列式为1的n阶矩阵在矩阵乘法下构成的群）是一般线性群GL_n（即所有n阶矩阵在矩阵乘法下构成的群）的正规子群。
- 交错群：交错群A_n（即n元对称群S_n中所有偶置换构成的群）是S_n的正规子群。
应用
正规子群在群论中扮演着重要角色，它们与群的结构和性质密切相关。例如，在伽罗瓦理论中，正规子群与多项式方程的根的可解性有关；在群的表示论中，正规子群与群的不可约表示有关。此外，正规子群还是构造商群、研究群的同态和同构等群论问题的基本工具。
判定方法
要判定一个子群H是否是群G的正规子群，可以根据正规子群的定义进行验证。即对于G中的任意元素g和H中的任意元素h，验证gh和hg是否都在H中（这等价于验证gH=Hg）。此外，还可以使用一些等价的条件进行判定，如H的左陪集与右陪集相等、H的所有共轭子群都等于H本身等。
- 共轭子群
- 共轭子群是数学群论中的一个重要概念，它用于研究群的结构并为理解群的性质提供有力的工具。
- 设G是一个群，H是G的一个子群。如果存在G中的元素g，使得 g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1（即H的元素在g的共轭作用下生成的集合）仍然等于H本身
- 或者更一般地，如果存在 g ∈ G 使得 g H g − 1 g∈G使得gHg^{-1} g∈G使得gHg−1等于G的另一个子群K，则称H是G的共轭子群（在第一种情况下，H也是自共轭的），或者称H和K是共轭的。
- 当H是G的正规子群时，对于任意g∈G，都有 g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1=H。即正规子群只与自己共轭。
性质
- 封闭性 ：如果H是G的共轭子群，那么对于任意g∈G， g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1仍然是G的子群。
- 阶相等：共轭子群有相同的阶。即如果H和K是共轭的，那么它们的元素个数相同。
- 等价关系：G的子群之间的共轭关系是G的所有子群组成的集合的一个等价关系。这意味着共轭关系具有自反性、对称性和传递性。
- 共轭类：G的所有子群按照共轭关系可以分成若干等价类，每个等价类叫做共轭子群类。
- 正规化器：一个子群H的正规化器N(H)是G中所有使H与其共轭的元素的集合。即N(H)={g∈G|gHg^(-1)=H}。
- 中心子群：如果一个子群H是它的某个共轭子群（即H本身），则称H为中心子群。这等价于说H中的每个元素都与G中的每个元素可交换。
- 共轭子群与正规子群 ：当H是G的正规子群时，对于任意g∈G，都有 g H g − 1 gHg^{-1} gHg−1=H。即正规子群只与自己共轭。
应用
共轭子群在群论中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
- 确定群的结构：共轭子群可以帮助我们识别群中的不同类型的子群，并了解它们之间的关系。
- 群的表示论：在群的表示论中，共轭子群发挥着重要作用，它可以帮助我们分析群的不可约表示。
- 群的同态：在研究群的同态时，共轭子群也是一个有用的工具，它可以帮助我们确定群的同态是否为自同态。
例子
假设G是某个群，H是G的一个子群。如果存在g∈G使得 g H g − 1 = K gHg^{-1}=K gHg−1=K，其中K是G的另一个子群且K≠H，那么我们就说H和K是G的共轭子群。这个定义允许我们找到与H在结构上相似但元素可能不同的子群K。
总结
共轭子群是群论中的一个基本概念，它描述了群元素对子群的共轭作用。通过共轭子群的研究，我们可以更深入地了解群的结构和性质。
- A σ = A , s g n σ = 1 ：偶置换 A_\sigma=A,sgn\sigma=1：偶置换 Aσ=A,sgnσ=1：偶置换
A σ = − A , s g n σ = − 1 ：奇置换 A_\sigma=-A,sgn\sigma=-1：奇置换 Aσ=−A,sgnσ=−1：奇置换
A σ = s g n σ A A_\sigma=sgn\sigma A Aσ=sgnσA - A n 为 S n 中偶置换集合，即： A_n为S_n中偶置换集合，即： An为Sn中偶置换集合，即：
A n = { σ ∈ S n ∣ s g n σ = 1 } A n 是 S n 的子群 A_n=\{\sigma \in S_n|sgn\sigma =1\} \\A_n 是S_n的子群 An={σ∈Sn∣sgnσ=1}An是Sn的子群
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交错群（Alternating Group）是数学中群论的一个重要概念，以下是对其定义、计算、原理、例子和例题的详细解释：
一、定义
交错群是有限集合上所有偶置换（即可以分解为偶数个对换的置换）构成的群。对于集合{1,...,n}上的交错群，通常称为n元交错群或n个字母上的交错群，记作An或Alt(n)。
交错群（Alternating Group）的定义是：对于有限集合{ 1 , 2 , . . . , n 1, 2, ..., n 1,2,...,n}上的所有偶置换 （即可以分解为偶数个对换的置换）构成的群，称为n元交错群或n个字母上的交错群，记作 A n A_n An或Alt(n)。
在置换群中，置换可以根据其可以分解为对换（即两个元素互换位置）的奇偶性来分类。如果一个置换可以分解为偶数个对换，则称它为偶置换；如果可以分解为奇数个对换，则称它为奇置换。
交错群 A n A_n An正是由这些偶置换构成的群。
需要注意的是，当n=1或n=2时， A n A_n An中的元素数量很少（分别为1和2），因此这些情况下交错群的结构相对简单。然而，当n≥3时，交错群开始展现出更复杂的性质，如当n=3或n≥5时， A n A_n An是单群（即除了平凡子群和自身外没有其他正规子群）。
- 特殊性质 ： * 当n ≤ 3时，群An是阿贝尔群。 * 当n = 3或n ≥ 5时，群An是单群。 * A5是最小非阿贝尔单群，也是最小不可解群。
交错群在数学和群论中有着广泛的应用，特别是在研究对称性和置换群的结构时。它们也是数学中许多重要定理和结果的基础，如伽罗瓦理论中关于多项式方程解的可解性与置换群的关系等。二、计算
交错群An的元素数量可以通过对称群Sn的元素数量来计算。由于Sn包含n!个置换，其中一半是偶置换，一半是奇置换，因此An的元素数量为n!/2。
三、原理
交错群的原理主要基于置换的奇偶性和群的性质。在置换群中，置换可以分为偶置换和奇置换，偶置换的乘积仍然是偶置换，奇置换的乘积是奇置换。交错群An正是基于这一性质，只包含偶置换，从而构成一个群。
交错群还具有许多独特的性质，如当n=3或n≥5时，An是单群；An的阿贝尔化群（即所有可交换元素的集合）是平凡的，除非n≤3；An的自同构群（即保持An结构不变的映射的集合）也有其特殊性质等。
四、例子
以4阶交错群A4为例，其元素包括：
- 单位置换e
- 3个3阶轮换（在A4中视为等价，因为它们可以通过偶数次对换相互转换）：(123), (132), (231)
- 3个2阶轮换（即对换）：(12), (13), (23)
- 6个由两个不相交对换组成的置换，如(12)(34), (13)(24), (14)(23)等
注意，虽然A4中有3个3阶轮换，但在A4的上下文中，我们通常只考虑一个代表元素，因为其他两个可以通过偶数次对换得到。
以下是交错群的一些具体例子：
A1和A2： * A1和A2都是1阶群，通常不称为单的，因为它们只包含一个元素（即单位置换）。
A3： * A3包含集合{1, 2, 3}上的所有偶置换，即{(1), (1 2 3), (1 3 2)}。这里，(1)表示单位置换，而(1 2 3)和(1 3 2)是集合{1, 2, 3}上的两个非单位偶置换。A3是3阶单群。
A4： * A4包含集合{1, 2, 3, 4}上的所有偶置换，共有12个元素。这些元素包括单位置换、所有3-轮换（如(1 2 3)）的偶数次幂的乘积、以及所有由两个不相交2-轮换（如(1 2)(3 4)）组成的置换。A4有一个非平凡正规子群，因此不是单群。
A5 ： * A5是最小非阿贝尔单群，包含集合{1, 2, 3, 4, 5}上的所有偶置换，共有60个元素。A5的阶数为60，是最小不可解群。
五、例题例题：求A4中所有元素的轮换型，并判断哪些元素在A4中共轭。
解答：
轮换型：
- 单位置换e的轮换型为[1,1,1,1]
- 3阶轮换（如(123)）的轮换型为[3,1]
- 2阶轮换（如对换(12)）的轮换型为[2,2]
- 由两个不相交对换组成的置换（如(12)(34)）的轮换型也为[2,2]
共轭判断：
- 在A4中，具有相同轮换型的元素不一定共轭。例如，(123)与(132)在S4中共轭，但在A4中不共轭，因为A4只包含偶置换。
- 所有2阶轮换（对换）在A4中都是共轭的，因为它们都可以通过偶数次对换相互转换。
- 3阶轮换在A4中不与其他任何元素共轭，因为它们不能通过偶数次对换转换为其他类型的置换。
通过以上解释和例子，我们可以更深入地理解交错群的定义、计算、原理及其在群论中的应用。
陪集
左陪集与右陪集是群论中的两个重要概念，用于描述群的子结构及其与整个群之间的关系。以下是对左陪集与右陪集的详细解释：
-
左陪集：
- 设G是一个群，H是G的一个子群，对于G中的任意元素g，左陪集定义为gH = {gh | h ∈ H}，即将子群H中的每个元素与g相乘得到的集合。
- 形式化表示：对于任意g ∈ G，gH = {gh | h ∈ H}。
- 左陪集aH（其中a是G中的任意元素）是G中的一个子集，包含了所有通过将a与H中每个元素相乘得到的元素。
-
右陪集：
- 与左陪集类似，右陪集定义为Hg = {hg | h ∈ H}，即将子群H中的每个元素与G中的元素g相乘得到的集合（注意这里元素g在右侧）。
- 形式化表示：对于任意g ∈ G，Hg = {hg | h ∈ H}。
- 右陪集Ha（其中a是G中的任意元素）是G中的另一个子集，包含了所有通过将H中每个元素与a相乘得到的元素。
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陪集性质
大小相等：
- 任意两个左陪集（或右陪集）的元素个数相等，且都等于子群H的阶（即H中元素的数量）。
- 这意味着，如果H是有限群G的子群，那么G中所有左陪集（或右陪集）的集合大小都相同，并且这个大小是H的阶。
要么相等要么不相交：
- 任意两个左陪集（或右陪集）要么完全相等，要么没有交集。
- 这意味着，G中的元素可以被划分为若干个不相交的左陪集（或右陪集），每个元素都属于且仅属于一个左陪集（或右陪集）。
商群：
- 如果H是G的一个正规子群（即对于G中的任意元素g，都有gH = Hg），那么可以定义商群G/H，其元素是G中所有关于H的左陪集（或右陪集，因为它们是相等的）。
- 商群的群运算通过左陪集的乘法来定义，即(aH)(bH) = (ab)H。
拉格朗日定理：
- 拉格朗日定理是群论中的一个基本定理，它指出子群H的阶（即H中元素的数量）是群G的阶（即G中元素的数量）的因子。
- 这意味着，如果H是G的子群，那么|H|（H的阶）能够整除|G|（G的阶）。
商群
- H 是群 G 的子群，则由 a R b ，若 a − 1 b ∈ H 所确定的 G 中的关系 R 是一个等价关系，并且 a 所在的等价类为 a H ， H 的左陪集为一个分划。 H是群G的子群，则由a R b，若a^{-1}b\in H\\所确定的G中的关系R\\是一个等价关系，并且a所在的等价类为aH，H的左陪集为一个分划。 H是群G的子群，则由aRb，若a−1b∈H所确定的G中的关系R是一个等价关系，并且a所在的等价类为aH，H的左陪集为一个分划。
- H 是 G 的子群，则下面条件等价 H是G的子群，则下面条件等价 H是G的子群，则下面条件等价
a H ∩ b H ≠ ∅ a H = b H a − 1 b = H aH\cap bH \ne \emptyset \\aH=bH \\a^{-1}b=H aH∩bH=∅aH=bHa−1b=H - G 对上述等价关系的商集合。 左陪集 a H 为元素的集合记为 G / H ，称为 G 对 H 的左陪集空间。 G / H 的元素个数 ∣ G / H ∣ 称为 H 在 G 中的指数，记为 [ G : H ] G对上述等价关系的商集合。 \\左陪集aH为元素的集合记为G/H，称为G对H的左陪集空间。 \\G/H的元素个数|G/H|称为H在G中的指数，记为[G:H] G对上述等价关系的商集合。左陪集aH为元素的集合记为G/H，称为G对H的左陪集空间。G/H的元素个数∣G/H∣称为H在G中的指数，记为[G:H]
参考文献
1、文心一言
2、《抽象代数基础》