旋转图像 - 技术栈

旋转图像

思路：

第一意识是找一个数学规律，一个公式可以找到对应的位置。

唉想不出没啥思路看题解了。

一看就懂了规律就是。。。。。。：原来第 i 行第 j 列的元素在旋转后会在第 j 行倒数第i列。

这种题目做少了，多做几个矩阵的总结一下规律就懂了。

法一：这是利用辅助矩阵的方法。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        // C++ 这里的 = 拷贝是值拷贝，会得到一个新的数组
        auto matrix_new = matrix;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {//翻转后矩阵的[i][j]是之前的[n-1-j][i]
                matrix_new[i][j]=matrix[n-1-j][i];
            }
        }
        matrix=matrix_new;//再来一次值拷贝
    }
};

法二：不使用辅助数组，原地进行操作，故需要考虑覆盖问题。

为什么要这么想呢，可以从n=2,3看看，可以发现旋转都是很有规律的！！！

法二是利用一个关键公式进行推导：

复制代码

  matrix_new[j][n - i - 1] = matrix[i][j];

这个公式的意思是，原来** $i$ $j$ ** 位置的元素要旋转到** $j$ $n-i-1$ **。

这个时候** $j$ $n-i-1$ **就要被覆盖了，我们继续看看这个位置的值旋转后要去哪。

继续代入关键公式，即令i=j，j=n-i-1 我们可以得到** $j$ $n-i-1$ ** 要旋转到** $n-i-1$ $n-j-1$ **的位置、

我们继续看** $n-i-1$ $n-j-1$ ** 要旋转到哪里：令i=n-i-1,j=n-j-1,我们可以得到** $n-i-1$ $n-j-1$ **要旋转到

$n-j-1$ $i$ 的位置。继续看**,** 同理， $n-j-1$ $i$ 要旋转到** $i$ $j$ **

可以大声喊我艹了。我们惊奇的发现闭环了，也就是** $i$ $j$ 旋转到 $j$ $n-i-1$ ， $j$ $n-i-1$ 旋转到 $n-i-1$ $n-j-1$ ， $n-i-1$ $n-j-1$ 旋转到 $n-j-1$ $i$ ， $n-j-1$ $i$ 又旋转到 $i$ $j$ ，形成了闭环！！**

这个时候，我们每次遍历处理四个元素就可以了，处理这四个元素的时候，存一下 $i$ $j$ ，即temp= $i$ $j$ ，就可以对后续都进行原地赋值操作。即以下五行代码：

temp= $i$ $j$ ;

$i$ $j$ = $n-j-1$ $i$ ;

$n-j-1$ $i$ = $n-i-1$ $n-j-1$ ;

$n-i-1$ $n-j-1$ = $j$ $n-i-1$ ;

$j$ $n-i-1$ =temp;

每一次处理四个元素，总共有n*n个元素。

然后剩下的问题是如何确定遍历的范围：

因为每次遍历都是操作4个点,显然我们只需遍历n*n/4个格子即可.
直觉上n*n/4可以等于 (n/2) * (n/2) (即0 <= i < n/2 ,0 <= j < (n/2)),
但也可以等于n * (n/4),究竟是哪种呢?
可以自己模拟一下n=2 n=3就明白了。肯定是前者。
n为偶数的时候是四等分：
n为奇数时：
综上,不管n是奇数还是偶数,遍历的范围都可以表示为0 <= i < n/2 ,0 <= j < ( n+1 /2)

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();
        for(int i=0;i<n/2;i++)
        {
            for(int j=0;j<(n+1)/2;j++)
            {
                int temp=matrix[i][j];
                matrix[i][j]=matrix[n-j-1][i];
                matrix[n-j-1][i]=matrix[n-i-1][n-j-1];
                matrix[n-i-1][n-j-1]=matrix[j][n-i-1];
                matrix[j][n-i-1]=temp;
            }
        }
    }
};

法三：一些巧妙的方法：用翻转代替旋转

用两次翻转代替旋转：

为什么呢？

我们也分别列出沿水平翻转和沿主对角线翻转的公式：

沿水平翻转：matrix_new $n-i-1$ $j$ =matrix $i$ $j$

沿对角线翻转：matrix_new $j$ $i$ =matrix $i$ $j$

这两个联立，可以得到。可以得到matrix_new $j$ $n-i-1$ =matrix $i$ $j$ 而这个就是之前说到的关键公式。所以两次翻转就等于将图像顺时针旋转 90 度。

而这种翻转，直接用swap就好了。

代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();
        for(int i=0;i<n/2;i++)//水平翻转
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                swap(matrix[i][j],matrix[n-i-1][j]);
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)//对角线翻转
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                swap(matrix[i][j],matrix[j][i]);
            }
        }
    }
};