递归
递归的思维方式
找出递归结构（借助第 n − 1 n-1 n−1步来解决第 n n n步） → \rightarrow →建立递推公式
递归和归纳，只是方向不同。"从一般性前提退出个别性结论"的是递归的思想。而"从个别性前提推出一般性结论"的是归纳的思想。
阶乘
n ! = { 1 , ( n = 0 时 ) n × ( n − 1 ) ! , ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ 时 ) n!=\begin{cases} 1, & (n=0时) \\ n \times (n-1)!, & (n=1,2,3, \cdots 时) \end{cases} n!={1,n×(n−1)!,(n=0时)(n=1,2,3,⋯时)
上面这个定义之所以能成立，下面两个方面缺一不可：
- 阶乘 n ! n! n!由阶乘 ( n − 1 ) ! (n-1)! (n−1)!来定义
- n = 0 n=0 n=0时的阶乘结果确定为1
斐波那契数列
问：有一种动物，它出生2天后就开始以每天1只的速度繁殖后代。假设在第1天有1只这样的动物（该动物刚出生，从第3天起繁殖后代）。那么到第 n n n天，这样的动物共有多少只？
解：在第 n n n天，
- 第 n − 1 n-1 n−1天出生的动物，在第 n n n天都还活着
- 第 n − 2 n-2 n−2天以前出生的动物，在第 n n n天会繁殖1个后代
若设第 n n n天的动物总是为 F ( n ) F(n) F(n)，则
F ( n ) = { 0 , ( n = 0 时 ) 1 , ( n = 1 时 ) F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) , ( n = 2 , 3 , 4 , ⋯ 时 ) F(n)=\begin{cases} 0, & (n=0时) \\ 1, & (n=1时) \\ F(n-1)+F(n-2), & (n=2, 3, 4, \cdots 时) \end{cases} F(n)=⎩ ⎨ ⎧0,1,F(n−1)+F(n−2),(n=0时)(n=1时)(n=2,3,4,⋯时)
将结果排列成数列可得： 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , ⋯ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \cdots 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,⋯
即斐波那契数列
递归的其他例子
杨辉三角
其实杨辉三角就是组合数：
即： C n k = C n − 1 k − 1 + C n − 1 k C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} Cnk=Cn−1k−1+Cn−1k
谢尔平斯基三角形
它其实就是将杨辉三角中的奇数和偶数分别上黑白2种颜色的结果：
