leetcode62. 不同路径,二维动态规划

leetcode62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 "Start" )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 "Finish" )。

问总共有多少条不同的路径?

示例 1:

输入:m = 3, n = 7

输出:28

示例 2:

输入:m = 3, n = 2

输出:3

解释:

从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向下 -> 向下
  2. 向下 -> 向下 -> 向右
  3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3:

输入:m = 7, n = 3

输出:28

示例 4:

输入:m = 3, n = 3

输出:6

提示:

1 <= m, n <= 100

题目数据保证答案小于等于 2 * 109

目录

题目描述

在一个 m 行 n 列的二维网格中,从左上角开始,每次只能向下或者向右移动一步,要求到达右下角。有多少种不同的路径?

题目分析

这是一个经典的动态规划问题。我们可以通过计算到达每个位置的方法数来最终得到到达右下角的方法数。

算法

状态转移方程

  • dp[i][j] 表示到达第 i 行第 j 列的路径数。
  • 状态转移方程为 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],因为到达第 i 行第 j 列的方法数是从第 i-1 行第 j 列向下移动一格,或者从第 i 行第 j-1 列向右移动一格。

初始化

  • dp[0][j] = 1,因为从左上角开始,到达第 j 列的方法数是1。
  • dp[i][0] = 1,因为从左上角开始,到达第 i 行的方法数是1。

遍历进行状态转移

  • 从第1行第1列开始,遍历到第 m 行第 n 列,根据状态转移方程更新 dp[i][j]

返回结果

  • dp[m-1][n-1] 即为到达右下角的方法数。

流程图

是 是 开始 初始化dp数组 遍历i从1到m 遍历j从1到n 更新dp i j 更新结果 结束

代码实现

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        for(int i=0; i<=m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j=0; j<=n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i=1; i<m; i++) {
            for(int j=1; j<n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

算法分析

  • 时间复杂度:O(m*n),因为我们需要遍历整个网格。
  • 空间复杂度:O(m*n),用于存储DP数组。

易错点

  • 注意初始化 dp[0][j]dp[i][0] 的值。
  • 确保在遍历时正确应用状态转移方程。

相似题目

题目 链接
不同路径 LeetCode 62
不同路径 II LeetCode 63
打家劫舍 LeetCode 198
相关推荐
YuTaoShao9 分钟前
【LeetCode 热题 100】206. 反转链表——(解法一)值翻转
算法·leetcode·链表
YuTaoShao17 分钟前
【LeetCode 热题 100】142. 环形链表 II——快慢指针
java·算法·leetcode·链表
CCF_NOI.25 分钟前
(普及−)B3629 吃冰棍——二分/模拟
数据结构·c++·算法
掘金安东尼33 分钟前
革新Web部署:Amazon Amplify Hosting!
后端·面试·github
掘金安东尼1 小时前
把复杂留给架构,把简单留给开发 —— Amazon Aurora DSQL 宣布:全面可用
面试·架构·github
漫天星梦1 小时前
前端列表页大数据内存优化的思考
前端·面试
爱学习的茄子1 小时前
从0到1:揭秘前端网络请求的进化之路
前端·javascript·面试
欢乐时光c1 小时前
常见请求头响应头的含义
前端·面试
运器1231 小时前
【一起来学AI大模型】支持向量机(SVM):核心算法深度解析
大数据·人工智能·算法·机器学习·支持向量机·ai·ai编程
Zedthm1 小时前
LeetCode1004. 最大连续1的个数 III
java·算法·leetcode