【并查集、树的直径】P2195 HXY造公园题解

题意

给出一个由 n n n 个点， m m m 条边组成的森林，有 q q q 组询问,每次询问有以下两种情况

输入 o p = 1 op = 1 op=1 时：给出点 x x x，输出点 x x x 所在的树的直径。

输入 o p = 2 op = 2 op=2 时：给出点 x , y x,y x,y，（如果 x , y x,y x,y 在同一棵树中则忽略此操作）选择任意两点 u , v u,v u,v，使得 $u 跟 x x x 在同一棵树中且 v v v 跟 y y y 在同一棵树中。将 u , v u,v u,v 之间连一条边，使得连边后的到的新树的直径最小。

思路

首先毫无疑问找到每一棵树的"核"，即直径的终点。在此基础上我们保存 d e e p e s t i deepest_i deepesti 和 d e e p e s t 2 i deepest2_i deepest2i，表示以这个核为根节点的树前两个最长的链（互不重合），则 d e e p e s t i + d e e p e s t 2 i deepest_i + deepest2_i deepesti+deepest2i 则表示当前直径。

考虑操作 1 1 1，我们输出 d e e p e s t i + d e e p e s t 2 i deepest_i + deepest2_i deepesti+deepest2i 即可。

考虑操作 2 2 2。因为合并两棵树（如果已经是一棵树则不用合并，合并和找根节点用并查集可以实现，可前往并查集入门学习）后树的直径长度不会改变，因此令 x ← f i n d ( x ) , y ← f i n d ( y ) x \gets find(x),y \gets find(y) x←find(x),y←find(y)， f i n d find find 操作表示并查集中找到根节点。合并时显而易见只要合并两个根节点即可

考虑 d e e p e s t x = d e e p e s t y deepest_x = deepest_y deepestx=deepesty 情况，如图所示，原来 4 , 5 , 6 4,5,6 4,5,6 和 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 分别为 2 2 2 棵树，加根后因为 1 1 1 加到 4 4 4 地下， d e e p e s t x ← d e e p e s t x + 1 deepest_x \gets deepest_x + 1 deepestx←deepestx+1。

考虑两个最深的链不等的情况，不妨令 d e e p e s t x > d e e p e s t y deepest_x > deepest_y deepestx>deepesty，则考虑对第二深的链的影响。如果 d e e p e s t y + 1 > d e e p e s t 2 x deepest_y + 1 > deepest2_x deepesty+1>deepest2x，则更新 d e e p e s t 2 x = d e e p e s t y + 1 deepest2_x = deepest_y + 1 deepest2x=deepesty+1。

代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int fat[600005];
int find(int x) {
	return fat[x] == x?x:fat[x] = find(fat[x]);
}
int head[600005],nex[1200005],to[1200005],cnt;
int add(int x,int y) {
	nex[++cnt] = head[x];
	head[x] = cnt;
	to[cnt] = y;
}
int n,m,q; 
bool v[600005];
int maxx,ed1,ed2,root;
int deepest[600005],deepest2[600005];
void find_edge1(int now,int fa,int deep) {
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) find_edge1(to[i],now,deep + 1);
	}
	if(deep >= maxx) {
		maxx = deep;
		ed1 = now;
	}
	return;
}
void find_edge2(int now,int fa,int deep) {
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) find_edge2(to[i],now,deep + 1);
	}
	if(deep >= maxx) {
		maxx = deep;
		ed2 = now;
	}
	return;
}
void find_root(int now,int fa,int deep) {
	if(now == ed2) {
		v[now] = 1;
	}
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) {
			find_root(to[i],now,deep + 1);
			if(v[to[i]]) v[now] = 1;
		}
	}
	if(v[now] and deep == maxx / 2) {
		root = now;
		deepest[root] = maxx - deep;
		deepest2[root] = maxx / 2;
	}
}
void biaoji(int now,int fa) {
	for(int i = head[now];i;i = nex[i]) {
		if(to[i] != fa) biaoji(to[i],now);
	}
	v[now] = 1;
	fat[now] = root;
}
signed main() {
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&q);
	for(int i = 1;i <= n;i++) fat[i] = i;
	while(m--) {
		int x,y;
		scanf("%lld %lld",&x,&y);
		add(x,y),add(y,x);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		if(!v[i]) {
			maxx = 0;
			find_edge1(i,i,0);
			maxx = 0;
			find_edge2(ed1,ed1,0);
			find_root(ed1,ed1,0);
			biaoji(ed1,ed1);
		//	printf("%lld %lld %lld\n",ed1,ed2,root);
		}
	}
	for(int i = 1;i <= q;i++) {
		int op,x,y;
		scanf("%lld",&op);
		if(op == 1) {
			scanf("%lld",&x);
			printf("%lld\n",deepest[find(x)] + deepest2[find(x)]);
		}
		if(op == 2) {
			scanf("%lld %lld",&x,&y);
			x = find(x),y = find(y);
			if(x == y) continue;
			//printf("%lld %lld\n",deepest[x],deepest[y]);
			if(deepest[x] == deepest[y]) {
				fat[y] = x;
				deepest[x]++;
				deepest2[x] = deepest[y];
			}
			else if(deepest[x] > deepest[y]) {
				fat[y] = x;
				if(deepest2[x] < deepest[y] + 1) deepest2[x] = deepest[y] + 1;
			}
			else {
				fat[x] = y;
				if(deepest2[y] < deepest[x] + 1) deepest2[y] = deepest[x] + 1;
			}
		}
	}
    return 0;
}

【并查集、树的直径】P2195 HXY造公园 题解

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