一、最长公共子序列
本题和最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了,但要有相对顺序,即:"ace" 是 "abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
这样定义是为了后面代码实现方便,如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以
- 确定递推公式
主要就是两大情况: text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同,那么找到了一个公共元素,所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同,那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列,取最大的。
即:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下:
cpp
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
- dp数组如何初始化
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0,所以dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖,初始为多少都可以,那么就统一初始为0。
代码:
cpp
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
- 确定遍历顺序
从递推公式,可以看出,有三个方向可以推出dp[i][j],如图:
那么为了在递推的过程中,这三个方向都是经过计算的数值,所以要从前向后,从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以输入:text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例,dp状态如图:
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕,C++代码如下:
cpp
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
};
- 时间复杂度: O(n * m),其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)
二、 不相交的线
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线,只要 A[i] == B[j],且直线不能相交。这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列,且这个子序列不能改变相对顺序,只要相对顺序不改变,链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例,相交情况如图:
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4],长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变(即数字4在字符串A中数字1的后面,那么数字4也应该在字符串B数字1的后面)
这么分析完之后,大家可以发现:本题其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度
那么本题就和上一题一样。 把字符串名字改一下,其他代码都不用改。
本题代码如下:
cpp
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[A.size()][B.size()];
}
};
- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
三、最大子序和
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i]:包括下标i(以nums[i]为结尾)的最大连续子序列和为dp[i]。
- 确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来:
- dp[i - 1] + nums[i],即:nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i],即:从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的,所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态,dp[0]就是递推公式的基础。
根据dp[i]的定义,很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
- 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态,需要从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以示例一为例,输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],对应的dp状态如下:
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]! ,而是dp[6]。在回顾一下dp[i]的定义:包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。最大的连续子序列,就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。所以在递推公式的时候,可以直接选出最大的dp[i]。
cpp
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
if (nums.size() == 0) return 0;
vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
}
return result;
}
};
- 时间复杂度:O(n)
- 空间复杂度:O(n)
四、判断子序列
(这道题也可以用双指针的思路来实现,时间复杂度也是O(n))
本题的动态规划解法是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础。
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s,和以下标j-1为结尾的字符串t,相同子序列的长度为dp[i][j]。注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。
- 确定递推公式
在确定递推公式的时候,首先要考虑如下两种操作,整理如下:
- if (s[i - 1] == t[j - 1])
- t中找到了一个字符在s中也出现了
- if (s[i - 1] != t[j - 1])
- 相当于t要删除元素,继续匹配
if (s[i - 1] == t[j - 1]),那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;,因为找到了一个相同的字符,相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
if (s[i - 1] != t[j - 1]),此时相当于t要删除元素,t如果把当前元素t[j - 1]删除,那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了,即:dp[i][j] = dp[i][j - 1];
其实这里 大家可以发现和 最长公共子序列的递推公式基本那就是一样的,区别就是 本题 如果删元素一定是字符串t,而 1143.最长公共子序列 是两个字符串都可以删元素。
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间,如图:
如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t,初始化就比较麻烦了。
dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串,与空字符串的相同子序列长度,所以为0. dp[0][j]同理。
cpp
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
- 确定遍历顺序
同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1],那么遍历顺序也应该是从上到下,从左到右
如图所示:
- 举例推导dp数组
以示例一为例,输入:s = "abc", t = "ahbgdc",dp状态转移图如下:
dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度,所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明:s与t的最长相同子序列就是s,那么s 就是 t 的子序列。
图中dp[s.size()][t.size()] = 3, 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列,返回true。
cpp
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
return false;
}
};
- 时间复杂度:O(n × m)
- 空间复杂度:O(n × m)