打卡第四十四天：最长公共子序列、不相交的线、最大子序和、判断子序列

一、最长公共子序列

本题和最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ ：长度为 $0, i - 1$ 的字符串text1与长度为 $0, j - 1$ 的字符串text2的最长公共子序列为dp $i$ $j$

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为 $0, i$ 的字符串text1也可以

确定递推公式

主要就是两大情况： text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同

如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 相同，那么找到了一个公共元素，所以dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;

如果text1 $i - 1$ 与 text2 $j - 1$ 不相同，那就看看text1 $0, i - 2$ 与text2 $0, j - 1$ 的最长公共子序列和 text1 $0, i - 1$ 与text2 $0, j - 2$ 的最长公共子序列，取最大的。

即：dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ );

代码如下：

cpp 复制代码

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组如何初始化

test1 $0, i-1$ 和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp $i$ $0$ = 0;同理dp $0$ $j$ 也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

代码：

cpp 复制代码

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp $i$ $j$ ，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

最后红框dp $text1.size()$ $text2.size()$ 为最终结果

以上分析完毕，C++代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
空间复杂度: O(n * m)

二、不相交的线

题目

文章

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绘制一些连接两个数字 A $i$ 和 B $j$ 的直线，只要 A $i$ == B $j$ ，且直线不能相交。这就是说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = $1,4,2$ , B = $1,2,4$ 为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是 $1,4$ ，长度为2。这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

那么本题就和上一题一样。把字符串名字改一下，其他代码都不用改。

本题代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

时间复杂度: O(n * m)
空间复杂度: O(n * m)

三、最大子序和

题目

文章

视频

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ ：包括下标i（以nums $i$ 为结尾）的最大连续子序列和为dp $i$ 。

确定递推公式

dp $i$ 只有两个方向可以推出来：

dp $i - 1$ + nums $i$ ，即：nums $i$ 加入当前连续子序列和
nums $i$ ，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dp $i$ = max(dp $i - 1$ + nums $i$ , nums $i$ );

dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dp $i$ 是依赖于dp $i - 1$ 的状态，dp $0$ 就是递推公式的基础。

根据dp $i$ 的定义，很明显dp $0$ 应为nums $0$ 即dp $0$ = nums $0$ 。

确定遍历顺序

递推公式中dp $i$ 依赖于dp $i - 1$ 的状态，需要从前向后遍历。

举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = $-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4$ ，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp $nums.size() - 1$ ！ ，而是dp $6$ 。在回顾一下dp $i$ 的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp $i$ 。最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp $i$ 。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

四、判断子序列

题目

文章

视频

（这道题也可以用双指针的思路来实现，时间复杂度也是O(n)）

本题的动态规划解法是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础。

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp $i$ $j$ 。注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

if (si - 1 == tj - 1)
- t中找到了一个字符在s中也出现了
if (si - 1 != tj - 1)
- 相当于t要删除元素，继续匹配

if (s $i - 1$ == t $j - 1$ )，那么dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp $i-1$ $j-1$ 的基础上加1

if (s $i - 1$ != t $j - 1$ )，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t $j - 1$ 删除，那么dp $i$ $j$ 的数值就是看s $i - 1$ 与 t $j - 2$ 的比较结果了，即：dp $i$ $j$ = dp $i$ $j - 1$ ;

其实这里大家可以发现和最长公共子序列的递推公式基本那就是一样的，区别就是本题如果删元素一定是字符串t，而 1143.最长公共子序列是两个字符串都可以删元素。

dp数组如何初始化

从递推公式可以看出dp $i$ $j$ 都是依赖于dp $i - 1$ $j - 1$ 和 dp $i$ $j - 1$ ，所以dp $0$ $0$ 和dp $i$ $0$ 是一定要初始化的。

这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：

如果要是定义的dp $i$ $j$ 是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。

dp $i$ $0$ 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp $0$ $j$ 同理。

cpp 复制代码

vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));

确定遍历顺序

同理从递推公式可以看出dp $i$ $j$ 都是依赖于dp $i - 1$ $j - 1$ 和 dp $i$ $j - 1$ ，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

如图所示：

举例推导dp数组

以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：

dp $i$ $j$ 表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp $s.size()$ $t.size()$ 与字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。

图中dp $s.size()$ $t.size()$ = 3，而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

时间复杂度：O(n × m)
空间复杂度：O(n × m)

打卡第四十四天：最长公共子序列、不相交的线、最大子序和、判断子序列

一、最长公共子序列

二、 不相交的线

三、最大子序和

四、判断子序列

二、不相交的线