打卡第四十四天：最长公共子序列、不相交的线、最大子序和、判断子序列

一、最长公共子序列

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本题和最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpij：长度为0, i - 1的字符串text1与长度为0, j - 1的字符串text2的最长公共子序列为dpij

这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为0, i的字符串text1也可以

1. 确定递推公式

主要就是两大情况： text1i - 1 与 text2j - 1相同，text1i - 1 与 text2j - 1不相同

如果text1i - 1 与 text2j - 1相同，那么找到了一个公共元素，所以dpij = dpi - 1j - 1 + 1;

如果text1i - 1 与 text2j - 1不相同，那就看看text10, i - 2与text20, j - 1的最长公共子序列 和 text10, i - 1与text20, j - 2的最长公共子序列，取最大的。

即：dpij = max(dpi - 1j, dpij - 1);

代码如下：

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

1. dp数组如何初始化

test10, i-1和空串的最长公共子序列自然是0，所以dpi0 = 0;同理dp0j也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

代码：

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

1. 确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dpij，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

1. 举例推导dp数组

以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：

最后红框dptext1.size()text2.size()为最终结果

以上分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

• 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
• 空间复杂度: O(n * m)

二、 不相交的线

题目

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绘制一些连接两个数字 Ai 和 Bj 的直线，只要 Ai == Bj，且直线不能相交。这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = 1,4,2, B = 1,2,4为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是1,4，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度

那么本题就和上一题一样。 把字符串名字改一下，其他代码都不用改。

本题代码如下：

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

• 时间复杂度: O(n * m)
• 空间复杂度: O(n * m)

三、最大子序和

题目

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1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpi：包括下标i（以numsi为结尾）的最大连续子序列和为dpi。

1. 确定递推公式

dpi只有两个方向可以推出来：

• dpi - 1 + numsi，即：numsi加入当前连续子序列和
• numsi，即：从头开始计算当前连续子序列和

一定是取最大的，所以dpi = max(dpi - 1 + numsi, numsi);

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出来dpi是依赖于dpi - 1的状态，dp0就是递推公式的基础。

根据dpi的定义，很明显dp0应为nums0即dp0 = nums0。

1. 确定遍历顺序

递推公式中dpi依赖于dpi - 1的状态，需要从前向后遍历。

1. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = -2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dpnums.size() - 1！ ，而是dp6。在回顾一下dpi的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dpi。最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dpi。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

四、判断子序列

题目

文章

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（这道题也可以用双指针的思路来实现，时间复杂度也是O(n)）

本题的动态规划解法是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpij 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dpij。注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

1. 确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

• if (si - 1 == tj - 1)
  • t中找到了一个字符在s中也出现了
• if (si - 1 != tj - 1)
  • 相当于t要删除元素，继续匹配

if (si - 1 == tj - 1)，那么dpij = dpi - 1j - 1 + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dpi-1j-1的基础上加1

if (si - 1 != tj - 1)，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素tj - 1删除，那么dpij 的数值就是 看si - 1与 tj - 2的比较结果了，即：dpij = dpij - 1;

其实这里 大家可以发现和 最长公共子序列的递推公式基本那就是一样的，区别就是 本题 如果删元素一定是字符串t，而 1143.最长公共子序列 是两个字符串都可以删元素。

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出dpij都是依赖于dpi - 1j - 1 和 dpij - 1，所以dp00和dpi0是一定要初始化的。

这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间，如图：

如果要是定义的dpij是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。

dpi0 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp0j同理。

vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));

1. 确定遍历顺序

同理从递推公式可以看出dpij都是依赖于dpi - 1j - 1 和 dpij - 1，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

如图所示：

1. 举例推导dp数组

以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：

dpij表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dps.size()t.size() 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。

图中dps.size()t.size() = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

• 时间复杂度：O(n × m)
• 空间复杂度：O(n × m)