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单源最短路
朴素Dijkstra
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值 。
请你求出 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离，如果无法从 1 1 1 号点走到 n n n 号点，则输出 − 1 -1 −1。
输入格式
第一行包含整数 n n n 和 m m m。
接下来 m m m 行每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 − 1 -1 −1。
数据范围
1 ≤ n ≤ 500 1 \le n \le 500 1≤n≤500,
1 ≤ m ≤ 1 0 5 1 \le m \le 10^5 1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=505;
int n,m;
int g[N][N]; // 因为是稠密图（点少 边多），所以用邻接矩阵存储
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N]; // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
dist[1]=0; // 点 1 到 点 1 的最短路径为 0
for(int i=0;i<n;i++) // 迭代 n 次，每次确定一个点的最短路径
{
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{ // 找到 未确定的 点1 到 某点 的最短路径 中 的 最短路径
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))
{
t=j;
}
}
st[t]=true; // 标记已确定 点1 到 点t 的最短路径
for(int j=1;j<=n;j++)
{ // 如果 点1 到 点j 的距离(dist[j]) 小于 点1 到 点t 的距离加上点t 到 点j 的距离，更新dist[j]
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
memset(g,0x3f,sizeof(g));
cin>>n>>m;
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
g[a][b]=min(g[a][b],c);
}
int t=dijkstra();
cout<<t;
return 0;
}堆优化Dijkstra
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值 。
请你求出 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离，如果无法从 1 1 1 号点走到 n n n 号点，则输出 − 1 -1 −1。
输入格式
第一行包含整数 n n n 和 m m m。
接下来 m m m 行每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 − 1 -1 −1。
数据范围
1 ≤ n , m ≤ 1.5 × 1 0 5 1 \le n,m \le 1.5 \times 10^5 1≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 0 0 0，且不超过 10000 10000 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 1 0 9 10^9 109。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
const int N=2e5+10;
int n,m;
int w[N],e[N],ne[N],h[N],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N]; // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
dist[1]=0;
priority_queue<PII, vector<PII> ,greater<PII> >heap; // 小顶堆，储存返回最小的路径 和 在某点
heap.push({0,1}); // 将 起点 输入进优先队列
while(heap.size())
{
auto t=heap.top(); // 返回当前最小路径
heap.pop(); // 删除当前最小路径
int ver=t.second,distance=t.first; // ver 当前位置，distance 当前最短距离
if(st[ver])continue; // 已确定该点最小路径，继续
st[ver]=true; // 确定该点最小路径
for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
// 如果 点1 到 点j 的距离(dist[j]) 小于 点1 到 点t 的距离加上点t 到 点j 的距离，更新dist[j]
if(dist[j]>distance+w[i])
{
dist[j]=distance+w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
cin>>n>>m;
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
int t=dijkstra();
cout<<t;
return 0;
}Bellman-ford
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数 。
请你求出从 1 1 1 号点到 n n n 号点的最多经过 k k k 条边的最短距离，如果无法从 1 1 1 号点走到 n n n 号点，输出 impossible。
注意：图中可能 存在负权回路 。
输入格式
第一行包含三个整数 n , m , k n,m,k n,m,k。
接下来 m m m 行，每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
点的编号为 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n。
输出格式
输出一个整数，表示从 1 1 1 号点到 n n n 号点的最多经过 k k k 条边的最短距离。
如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。
数据范围
1 ≤ n , k ≤ 500 1 \le n,k \le 500 1≤n,k≤500,
1 ≤ m ≤ 10000 1 \le m \le 10000 1≤m≤10000,
1 ≤ x , y ≤ n 1 \le x,y \le n 1≤x,y≤n，
任意边长的绝对值不超过 10000 10000 10000。
输入样例：
3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3
输出样例：
3
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,M=1e5+10;
int dist[N],backup[N];
int n,m,k;
struct op{
int a,b,w;
}edges[M];
int bellman_ford()
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
dist[1]=0;
for(int i=0;i<k;i++) // 限制次数
{
memcpy(backup, dist, sizeof dist); // 每次使用上一次的距离更新当前距离，防止连带影响
for(int j=0;j<m;j++)
{
int a=edges[j].a, b=edges[j].b, w=edges[j].w;
dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
}
}
if(dist[n] > 0x3f3f3f3f/2) cout<<"impossible";
else cout<<dist[n];
}
int main()
{
cin>>n>>m>>k;
for(int i=0;i<m;i++)
{
int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
edges[i]={x,y,z};
}
bellman_ford();
return 0;
}spfa
spfa求最短路
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数 。
请你求出 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离，如果无法从 1 1 1 号点走到 n n n 号点，则输出 impossible。
数据保证不存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 n n n 和 m m m。
接下来 m m m 行每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 1 1 号点到 n n n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 impossible。
数据范围
1 ≤ n , m ≤ 1 0 5 1 \le n,m \le 10^5 1≤n,m≤105,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000 10000 10000。
输入样例：
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例：
2
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
const int N=2e5+10;
int n,m;
int w[N],e[N],ne[N],h[N],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N]; // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int ff=0;
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
void spfa()
{
memset(dist,0x3f, sizeof(dist)); // 先认定，点 1 到 任意点的最短路径为 无穷大
dist[1]=0;
queue<int>q;
q.push(1);
st[1]=true;
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i])
{
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) ff=1;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
cin>>n>>m;
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
spfa();
if(ff==1) cout<<"impossible";
else cout<<dist[n];
return 0;
}spfa判断负环
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数 。
请你判断图中是否存在负权回路。
输入格式
第一行包含整数 n n n 和 m m m。
接下来 m m m 行每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
输出格式
如果图中存在 负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。
数据范围
1 ≤ n ≤ 2000 1 \le n \le 2000 1≤n≤2000,
1 ≤ m ≤ 10000 1 \le m \le 10000 1≤m≤10000,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000 10000 10000。
输入样例：
3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4
输出样例：
nginx
Yes代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010,M=1e5+10;
int n,m;
int w[M],e[M],ne[M],h[M],idx; // 稀疏图(点 与 边 大致相同)，用邻接表
int dist[N]; // 储存点 1 到 该点 的最短路径
bool st[N]; // 标记是否确定 点 1 到 该点 的最短路径，true 是确定，false 是不确定
int ff=0,fa=0;
int cnt[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++; // 邻接表的储存
}
int spfa()
{
queue<int>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
q.push(i);
st[i]=true;
}
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i])
{
dist[j]=dist[t]+w[i];
cnt[j]=cnt[t]+1;
if(cnt[j]>=n) return true; // 当此路经过 n+1 个点的时候，则表明存在负环
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
cin>>n>>m;
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
if(spfa()) cout<<"Yes";
else cout<<"No";
return 0;
}多源最短路
Floyd
给定一个 n n n 个点 m m m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定 k k k 个询问，每个询问包含两个整数 x x x 和 y y y，表示查询从点 x x x 到点 y y y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式
第一行包含三个整数 n , m , k n,m,k n,m,k。
接下来 m m m 行，每行包含三个整数 x , y , z x,y,z x,y,z，表示存在一条从点 x x x 到点 y y y 的有向边，边长为 z z z。
接下来 k k k 行，每行包含两个整数 x , y x,y x,y，表示询问点 x x x 到点 y y y 的最短距离。
输出格式 0
共 k k k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。
数据范围
1 ≤ n ≤ 200 1 \le n \le 200 1≤n≤200,
1 ≤ k ≤ n 2 1 \le k \le n^2 1≤k≤n2
1 ≤ m ≤ 20000 1 \le m \le 20000 1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000 10000 10000。
输入样例：
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例：
nginx
impossible
1代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=300,INF=1e9;
int n,m,k;
int d[N][N];
void floyd()
{
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); // 从 点i 到 点j 只经过 点1 到点k 的最短距离
}
int main()
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j) d[i][j]=0;
else d[i][j]=INF;
}
}
while(m--)
{
int x,y,z;cin>>x>>y>>z;
d[x][y]=min(d[x][y],z); // 重边保留最小值
}
floyd();
while(k--)
{
int x,y;cin>>x>>y;
if(d[x][y]>=INF/2) cout<<"impossible\n";
else cout<<d[x][y]<<'\n';
}
return 0;
}