数学基础 -- 线性代数之矩阵的可逆性

矩阵的可逆性

1. 矩阵可逆的定义

对于一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A,如果存在一个矩阵 B B B 使得:
A × B = B × A = I n A \times B = B \times A = I_n A×B=B×A=In

其中 I n I_n In 是 n × n n \times n n×n 的单位矩阵(对角线上全为 1,其他位置全为 0),那么矩阵 A A A 是可逆的 ,并称矩阵 B B B 是矩阵 A A A 的逆矩阵 ,记作 A − 1 A^{-1} A−1。

2. 矩阵不可逆的定义

如果对于一个方阵 A A A,不存在矩阵 B B B 使得 A × B = I n A \times B = I_n A×B=In,那么矩阵 A A A 就是不可逆的,即矩阵没有逆矩阵。

3. 矩阵可逆与不可逆的条件

  • 行列式 :方阵 A A A 的行列式 det ⁡ ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det(A)=0 时,矩阵 A A A 可逆;如果 det ⁡ ( A ) = 0 \det(A) = 0 det(A)=0,则矩阵不可逆。
  • 线性无关性:矩阵的列向量(或行向量)线性无关时,矩阵可逆;如果列向量(或行向量)线性相关,则矩阵不可逆。

4. 可逆矩阵的性质

  • 唯一性:一个矩阵的逆矩阵是唯一的。
  • 矩阵乘法与逆矩阵 :如果 A A A 和 B B B 都是可逆矩阵,则它们的乘积 A B AB AB 也是可逆矩阵,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。
  • 线性方程组的解 :如果矩阵 A A A 可逆,则线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 有唯一解,解为 x = A − 1 b x = A^{-1}b x=A−1b。

5. 不可逆矩阵的特点

  • 行列式为零:不可逆矩阵的行列式等于零。
  • 线性相关:不可逆矩阵的行向量或列向量中存在线性相关性。
  • 方程组的解 :对于不可逆矩阵,线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 可能没有解或有无穷多个解。

6. 可逆矩阵的几何意义

在几何中,可逆矩阵表示一种可逆的线性变换,这种变换不会将空间压缩到低维空间。比如,二维空间中的可逆矩阵不会将平面压缩成一条直线或一个点。

总结

  • 可逆矩阵:有逆矩阵,行列式不为零,线性方程组有唯一解。
  • 不可逆矩阵:无逆矩阵,行列式为零,线性方程组可能没有解或有无穷多个解。
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