数学基础 -- 线性代数之矩阵的可逆性

矩阵的可逆性

1. 矩阵可逆的定义

对于一个 n × n n \times n n×n 的方阵 A A A,如果存在一个矩阵 B B B 使得:
A × B = B × A = I n A \times B = B \times A = I_n A×B=B×A=In

其中 I n I_n In 是 n × n n \times n n×n 的单位矩阵(对角线上全为 1,其他位置全为 0),那么矩阵 A A A 是可逆的 ,并称矩阵 B B B 是矩阵 A A A 的逆矩阵 ,记作 A − 1 A^{-1} A−1。

2. 矩阵不可逆的定义

如果对于一个方阵 A A A,不存在矩阵 B B B 使得 A × B = I n A \times B = I_n A×B=In,那么矩阵 A A A 就是不可逆的,即矩阵没有逆矩阵。

3. 矩阵可逆与不可逆的条件

  • 行列式 :方阵 A A A 的行列式 det ⁡ ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det(A)=0 时,矩阵 A A A 可逆;如果 det ⁡ ( A ) = 0 \det(A) = 0 det(A)=0,则矩阵不可逆。
  • 线性无关性:矩阵的列向量(或行向量)线性无关时,矩阵可逆;如果列向量(或行向量)线性相关,则矩阵不可逆。

4. 可逆矩阵的性质

  • 唯一性:一个矩阵的逆矩阵是唯一的。
  • 矩阵乘法与逆矩阵 :如果 A A A 和 B B B 都是可逆矩阵,则它们的乘积 A B AB AB 也是可逆矩阵,且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1。
  • 线性方程组的解 :如果矩阵 A A A 可逆,则线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 有唯一解,解为 x = A − 1 b x = A^{-1}b x=A−1b。

5. 不可逆矩阵的特点

  • 行列式为零:不可逆矩阵的行列式等于零。
  • 线性相关:不可逆矩阵的行向量或列向量中存在线性相关性。
  • 方程组的解 :对于不可逆矩阵,线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b 可能没有解或有无穷多个解。

6. 可逆矩阵的几何意义

在几何中,可逆矩阵表示一种可逆的线性变换,这种变换不会将空间压缩到低维空间。比如,二维空间中的可逆矩阵不会将平面压缩成一条直线或一个点。

总结

  • 可逆矩阵:有逆矩阵,行列式不为零,线性方程组有唯一解。
  • 不可逆矩阵:无逆矩阵,行列式为零,线性方程组可能没有解或有无穷多个解。
相关推荐
Naomi5211 小时前
Trustworthy Machine Learning
人工智能·机器学习
星霜旅人1 小时前
K-均值聚类
人工智能·机器学习
机器鱼2 小时前
1.2 基于卷积神经网络与SE注意力的轴承故障诊断
深度学习·机器学习·cnn
无难事者若执4 小时前
新手村:逻辑回归-理解03:逻辑回归中的最大似然函数
算法·机器学习·逻辑回归
达柳斯·绍达华·宁4 小时前
自动驾驶04:点云预处理03
人工智能·机器学习·自动驾驶
IT从业者张某某5 小时前
机器学习-04-分类算法-03KNN算法案例
算法·机器学习·分类
补三补四5 小时前
k近邻算法K-Nearest Neighbors(KNN)
人工智能·机器学习
databook6 小时前
线性判别分析(LDA):降维与分类的完美结合
python·机器学习·scikit-learn
硅谷秋水6 小时前
大语言模型智体的综述:方法论、应用和挑战(下)
人工智能·深度学习·机器学习·语言模型·自然语言处理