2024年国赛C题解题思路
C****题 农作物的种植策略
根据乡村的实际情况,充分利用有限的耕地资源,因地制宜,发展有机种植产业,对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物,优化种植策略,有利于方便田间管理,提高生产效益,减少各种不确定因素可能造成的种植风险。
某乡村地处华北山区,常年温度偏低,大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩,分散为 34 个大小不同的地块,包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物;水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有16 个普通大棚和4 个智慧大棚,每个大棚耕地面积为0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌,智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块(含大棚)每季可以合种不同的作物。详见附件1。
根据农作物的生长规律,每种作物在同一地块(含大棚)都不能连续重茬种植,否则会减产;因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长,从 2023 年开始要求每个地块(含大棚)的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时,种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理,譬如:每种作物每季的种植地不能太分散,每种作物在单个地块(含大棚)种植的面积不宜太小,等等。2023年的农作物种植和相关统计数据见附件 2。
请建立数学模型,研究下列问题:
问题 1假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定,每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量,超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况,分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案,将结果分别填入result1_1.xlsx 和result1_2.xlsx 中(模板文件见附件3)。
(1) 超过部分滞销,造成浪费;
(2) 超过部分按2023 年销售价格的50%降价出售。
【题目分析】
任务:在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下,为乡村2024-2030年制定最优的种植方案。需要考虑两种情况:
- 滞销浪费:超出部分无法销售,需合理分配种植面积,避免浪费。
- 降价出售:超出部分按50%的价格出售,这可能影响种植策略,需要平衡不同农作物的收益和种植面积。
【初步思路】
第一问的详细思路与建模过程
问题背景:
我们需要在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下,为乡村2024-2030年制定最优种植方案。目标是最大化利润,并要考虑两种情况:
- 滞销浪费:超过部分无法销售,造成浪费。
- 降价出售:超过部分按原售价的50%处理。
【解题思路】
一、问题转化为数学模型
1. 变量定义
- 地块变量:
-
- 记Ai 表示第 i 个地块的面积(亩),i=1,2,...,n,其中n=34 。
- 每个地块可以种植不同的作物,记 Xu 为第i个地块种植第j种作物的面积(亩),j=1,2,...,m,其中 m 是作物种类。
- 作物产量和价格 :
- 记 Yj为第j种作物的单位面积产量(吨/亩),Pj 为该作物的单位售价(元/吨)。
- 成本和收益 :
- 记 Cj 为种植第j种作物的单位面积成本(元/亩)。
- 收益为作物销售量与售价的乘积,超出销售量部分按不同情况处理。
- 作物销售量约束 :
- 设第j种作物的预期销售量为 Sj(吨),当种植量超过此值,需根据不同情况处理。
2. 目标函数
目标是最大化2024-2030年种植方案的总利润。首先,作物的总产量为:
基于此,作物的利润分为两种情况:
- 滞销浪费: 当 QU≤SJ 时,所有产量均以正常价格出售;当 QU>SJ 时,超过部分无法出售。总利润为:
2. 降价出售: 当 QU>SJ 时,超过部分以50%的价格出售,收益为:
整个种植方案的总利润为所有地块和作物的利润之和:
3. 约束条件
- 面积约束:每个地块的作物种植面积不能超过总面积:
- 作物适应性约束:不同地块只能种适宜的作物。例如,梯田和山坡地只能种粮食类作物,水浇地可以种水稻或蔬菜。
- 轮作约束:每块地在三年内至少种一次豆类作物。用二进制变量 Bij 表示某季是否种植豆类作物:
二、引入智能优化算法
由于问题涉及多个地块、多种作物,并且有复杂的约束条件和非线性目标函数,使用智能优化算法(如遗传算法)更为适合。
1. 遗传算法( GA )概述
- 编码:每个地块的种植方案表示为一个基因,整个种植方案为一个个体。
- 适应度函数:适应度函数为目标函数,即总利润,目标是通过选择、交叉、变异操作逐步优化种植方案。
- 操作步骤 :
- 初始种群生成:随机生成一批种植方案。
- 适应度评估:计算每个方案的总利润。
- 选择:根据适应度高低选择个体。
- 交叉与变异:生成新个体并确保种群多样性。
- 终止条件:达到设定迭代次数或适应度不再显著提高。
2. 遗传算法的公式表示
- 选择操作:轮盘赌选择法,个体被选中的概率为:
其中 fi为第 i 个个体的适应度,N 为种群大小。
- 交叉操作:两个种植方案交叉生成新的方案,交叉概率为Pc,生成新个体的公式为:
变异操作:随机调整种植面积,变异概率为Pm。
【Python参考代码】
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog
import random
import seaborn as sns
# 读取农作物信息(面积、作物类型、单价、产量等)
land_data = pd.read_excel('/path/to/附件1.xlsx')
production_data = pd.read_excel('/path/to/附件2.xlsx')
# 地块面积信息
area = land_data['地块面积'].values
# 2023年农作物信息,包括单价、种植成本、产量等
crop_data = production_data[['作物类型', '产量', '单价', '种植成本', '预期销售量']].set_index('作物类型')
# 从crop_data提取变量
yield_per_acre = crop_data['产量'].values
price_per_ton = crop_data['单价'].values
cost_per_acre = crop_data['种植成本'].values
sales_expectation = crop_data['预期销售量'].values
# 变量数量
num_land_blocks = len(area) # 地块数量
num_crops = len(crop_data) # 作物种类数量
# 遗传算法相关参数
population_size = 50
generations = 100
mutation_rate = 0.01
# 初始化种群
def init_population(size):
return np.random.rand(size, num_land_blocks, num_crops)
# 适应度函数,计算总利润
def fitness(individual):
profit = 0
for i in range(num_land_blocks):
for j in range(num_crops):
planted_area = individual[i, j] * area[i]
production = planted_area * yield_per_acre[j]
if production <= sales_expectation[j]:
profit += production * price_per_ton[j] - planted_area * cost_per_acre[j]
else:
surplus = production - sales_expectation[j]
profit += sales_expectation[j] * price_per_ton[j] + surplus * (price_per_ton[j] / 2) - planted_area * cost_per_acre[j]
return profit
child1.flat[point:], child2.flat[point:] = parent2.flat[point:], parent1.flat[point:]
return child1, child2
# 变异操作
def mutate(individual):
if np.random.rand() < mutation_rate:
i = np.random.randint(num_land_blocks)
j = np.random.randint(num_crops)
individual[i, j] = np.random.rand()
return individual
# 主遗传算法过程
def genetic_algorithm():
population = init_population(population_size)
best_solution = None
best_fitness = float('-inf')
fitness_history = []
for generation in range(generations):
population = selection(population)
new_population = []
# 交叉产生新个体
for i in range(0, len(population), 2):
parent1 = population[i]
parent2 = population[min(i+1, len(population)-1)]
child1, child2 = crossover(parent1, parent2)
new_population.append(mutate(child1))
new_population.append(mutate(child2))
population = np.array(new_population)
# 记录最佳个体
gen_best = max(population, key=fitness)
gen_best_fitness = fitness(gen_best)
fitness_history.append(gen_best_fitness)
if gen_best_fitness > best_fitness:
best_solution = gen_best
best_fitness = gen_best_fitness
print(f"Generation {generation + 1}: Best Fitness = {best_fitness}")
return best_solution, fitness_history
# 运行遗传算法
best_solution, fitness_history = genetic_algorithm()
# 总利润随代数变化趋势
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(fitness_history, label='Total Profit')
plt.xlabel('Generations')
plt.ylabel('Profit')
plt.title('Total Profit Over Generations')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
# 各地块的最佳作物种植方案
def plot_solution(solution):
plt.figure(figsize=(12, 8))
sns.heatmap(solution, annot=True, fmt=".2f", cmap='Blues', xticklabels=crop_data.index, yticklabels=land_data['地块名称'])
plt.title("Optimal Crop Distribution Across Lands")
plt.xlabel("Crops")
plt.ylabel("Land Blocks")
plt.show()
# 可视化最佳种植方案
plot_solution(best_solution)