【2024数模国赛赛题思路公开】国赛C题思路丨附可运行代码丨无偿自提

2024年国赛C题解题思路

C****题 农作物的种植策略

根据乡村的实际情况,充分利用有限的耕地资源,因地制宜,发展有机种植产业,对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物,优化种植策略,有利于方便田间管理,提高生产效益,减少各种不确定因素可能造成的种植风险。

某乡村地处华北山区,常年温度偏低,大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩,分散为 34 个大小不同的地块,包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物;水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有16 个普通大棚和4 个智慧大棚,每个大棚耕地面积为0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌,智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块(含大棚)每季可以合种不同的作物。详见附件1。

根据农作物的生长规律,每种作物在同一地块(含大棚)都不能连续重茬种植,否则会减产;因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长,从 2023 年开始要求每个地块(含大棚)的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时,种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理,譬如:每种作物每季的种植地不能太分散,每种作物在单个地块(含大棚)种植的面积不宜太小,等等。2023年的农作物种植和相关统计数据见附件 2。

请建立数学模型,研究下列问题:

问题 1假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定,每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量,超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况,分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案,将结果分别填入result1_1.xlsx 和result1_2.xlsx 中(模板文件见附件3)。

(1) 超过部分滞销,造成浪费;

(2) 超过部分按2023 年销售价格的50%降价出售。

【题目分析】

任务:在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下,为乡村2024-2030年制定最优的种植方案。需要考虑两种情况:

  1. 滞销浪费:超出部分无法销售,需合理分配种植面积,避免浪费。
  2. 降价出售:超出部分按50%的价格出售,这可能影响种植策略,需要平衡不同农作物的收益和种植面积。

【初步思路】

第一问的详细思路与建模过程

问题背景:

我们需要在假定农作物的销售量、种植成本、亩产量和销售价格稳定的情况下,为乡村2024-2030年制定最优种植方案。目标是最大化利润,并要考虑两种情况:

  1. 滞销浪费:超过部分无法销售,造成浪费。
  2. 降价出售:超过部分按原售价的50%处理。

【解题思路】

一、问题转化为数学模型

1. 变量定义

  • 地块变量
    • 记Ai 表示第 i 个地块的面积(亩),i=1,2,...,n,其中n=34 。
    • 每个地块可以种植不同的作物,记 Xu 为第i个地块种植第j种作物的面积(亩),j=1,2,...,m,其中 m 是作物种类。
  • 作物产量和价格
    • 记 Yj为第j种作物的单位面积产量(吨/亩),Pj 为该作物的单位售价(元/吨)。
  • 成本和收益
    • 记 Cj 为种植第j种作物的单位面积成本(元/亩)。
    • 收益为作物销售量与售价的乘积,超出销售量部分按不同情况处理。
  • 作物销售量约束
    • 设第j种作物的预期销售量为 Sj(吨),当种植量超过此值,需根据不同情况处理。

2. 目标函数

目标是最大化2024-2030年种植方案的总利润。首先,作物的总产量为:

基于此,作物的利润分为两种情况:

  1. 滞销浪费: 当 QU≤SJ 时,所有产量均以正常价格出售;当 QU>SJ 时,超过部分无法出售。总利润为:

2. 降价出售: 当 QU>SJ 时,超过部分以50%的价格出售,收益为:

整个种植方案的总利润为所有地块和作物的利润之和:

3. 约束条件

  • 面积约束:每个地块的作物种植面积不能超过总面积:
  • 作物适应性约束:不同地块只能种适宜的作物。例如,梯田和山坡地只能种粮食类作物,水浇地可以种水稻或蔬菜。
  • 轮作约束:每块地在三年内至少种一次豆类作物。用二进制变量 Bij 表示某季是否种植豆类作物:

二、引入智能优化算法

由于问题涉及多个地块、多种作物,并且有复杂的约束条件和非线性目标函数,使用智能优化算法(如遗传算法)更为适合。

1. 遗传算法( GA )概述

  • 编码:每个地块的种植方案表示为一个基因,整个种植方案为一个个体。
  • 适应度函数:适应度函数为目标函数,即总利润,目标是通过选择、交叉、变异操作逐步优化种植方案。
  • 操作步骤
    1. 初始种群生成:随机生成一批种植方案。
    2. 适应度评估:计算每个方案的总利润。
    3. 选择:根据适应度高低选择个体。
    4. 交叉与变异:生成新个体并确保种群多样性。
    5. 终止条件:达到设定迭代次数或适应度不再显著提高。

2. 遗传算法的公式表示

  • 选择操作:轮盘赌选择法,个体被选中的概率为:

其中 fi为第 i 个个体的适应度,N 为种群大小。

  • 交叉操作:两个种植方案交叉生成新的方案,交叉概率为Pc,生成新个体的公式为:

变异操作:随机调整种植面积,变异概率为Pm。

Python参考代码】

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog
import random
import seaborn as sns

# 读取农作物信息(面积、作物类型、单价、产量等)
land_data = pd.read_excel('/path/to/附件1.xlsx')
production_data = pd.read_excel('/path/to/附件2.xlsx')

# 地块面积信息
area = land_data['地块面积'].values

# 2023年农作物信息,包括单价、种植成本、产量等
crop_data = production_data[['作物类型', '产量', '单价', '种植成本', '预期销售量']].set_index('作物类型')

# 从crop_data提取变量
yield_per_acre = crop_data['产量'].values
price_per_ton = crop_data['单价'].values
cost_per_acre = crop_data['种植成本'].values

sales_expectation = crop_data['预期销售量'].values

# 变量数量
num_land_blocks = len(area)  # 地块数量
num_crops = len(crop_data)   # 作物种类数量

# 遗传算法相关参数
population_size = 50
generations = 100
mutation_rate = 0.01

# 初始化种群
def init_population(size):
    return np.random.rand(size, num_land_blocks, num_crops)

# 适应度函数,计算总利润
def fitness(individual):
    profit = 0
    for i in range(num_land_blocks):
        for j in range(num_crops):
            planted_area = individual[i, j] * area[i]
            production = planted_area * yield_per_acre[j]
            if production <= sales_expectation[j]:
                profit += production * price_per_ton[j] - planted_area * cost_per_acre[j]
            else:
                surplus = production - sales_expectation[j]
                profit += sales_expectation[j] * price_per_ton[j] + surplus * (price_per_ton[j] / 2) - planted_area * cost_per_acre[j]
    return profit

   child1.flat[point:], child2.flat[point:] = parent2.flat[point:], parent1.flat[point:]
    return child1, child2

# 变异操作
def mutate(individual):
    if np.random.rand() < mutation_rate:
        i = np.random.randint(num_land_blocks)
        j = np.random.randint(num_crops)
        individual[i, j] = np.random.rand()
    return individual

# 主遗传算法过程
def genetic_algorithm():
    population = init_population(population_size)
    best_solution = None
    best_fitness = float('-inf')
    fitness_history = []

    for generation in range(generations):
        population = selection(population)
        new_population = []

        # 交叉产生新个体
        for i in range(0, len(population), 2):
            parent1 = population[i]
            parent2 = population[min(i+1, len(population)-1)]
            child1, child2 = crossover(parent1, parent2)
            new_population.append(mutate(child1))
            new_population.append(mutate(child2))

        population = np.array(new_population)

        # 记录最佳个体
        gen_best = max(population, key=fitness)
        gen_best_fitness = fitness(gen_best)
        fitness_history.append(gen_best_fitness)

        if gen_best_fitness > best_fitness:
            best_solution = gen_best
            best_fitness = gen_best_fitness

        print(f"Generation {generation + 1}: Best Fitness = {best_fitness}")

    return best_solution, fitness_history

# 运行遗传算法
best_solution, fitness_history = genetic_algorithm()

# 总利润随代数变化趋势
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(fitness_history, label='Total Profit')
plt.xlabel('Generations')
plt.ylabel('Profit')
plt.title('Total Profit Over Generations')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 各地块的最佳作物种植方案
def plot_solution(solution):
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    sns.heatmap(solution, annot=True, fmt=".2f", cmap='Blues', xticklabels=crop_data.index, yticklabels=land_data['地块名称'])
    plt.title("Optimal Crop Distribution Across Lands")
    plt.xlabel("Crops")
    plt.ylabel("Land Blocks")
    plt.show()

# 可视化最佳种植方案
plot_solution(best_solution)
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