《征服数据结构》差分数组

摘要：

1，差分数组的介绍

2，二维差分数组的介绍

1，差分数组的介绍

差分数组主要是操作区间的，关于区间操作的数据结构比较多，除了前面讲的《稀疏表》，还有树状数组，线段树，伸展树Splay等。尤其是后面两个在信奥赛和蓝桥杯的比赛中用到的还是比较多的，之后我们也都会一一介绍、这里先看一下差分数组。

假设有这样一个问题，给你一个数组nums，先对区间 $a,b$ 中每个元素加 3 ，在对区间 $c,d$ 每个元素减 5 ...... ，这样非常频繁的区间修改，常规的做法可以一个个计算。

Java 代码：

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// 给闭区间[a,b]中的每个元素都增加 k 。
public void increment(int[] nums, int a, int b, int k) {
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        nums[i] += k;
    }
}

C++ 代码：

go 复制代码

// 给闭区间[a,b]中的每个元素都增加 k 。
void increment(vector<int> &nums, int a, int b, int k) {
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        nums[i] += k;
    }
}

频繁对数组的一段区间进行加减，如果一个个去操作，很明显效率很差，这个时候我们可以使用差分数组，差分数组就是原始数组相邻元素之间的差所构成的数组。定义差分数组d $n$ ，则 d $i$ = nums $i$ − nums $i-1$ ，其中 d $0$ = nums $0$ 。

可以看到原数组的元素就是差分数组的前缀和，如果要计算nums $i$ ，只需要把差分数组 d 的前 i 个元素相加即可。

ini 复制代码

nums[0] = d[0]
num[3] = d[0] + d[1] + d[2] + d[3]

有了差分数组，如果对区间 $a,b$ 中的每个元素加 3 ，不需要在一个个操作，只需要在两端修改。如下图所示，可以看到原数组需要修改区间内的所有值，而差分数组只需要修改两个值即可，一个是给d $a$ 加上 3 ，一个是给d $b+1$ 减去 3 。

javascript 复制代码

d[a] += 3;
d[b+1] -= 3;// 注意不能越界