数据结构-二叉树

在上一篇文章中我们初步认识了一下二叉树，我们主要讲解了一些关于树的概念和堆的结构与实现，详细请看http://t.csdnimg.cn/FXETQ，接下来我们主要讲解普通二叉树的实现。

快速入门

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。为了快速进入二叉树操作学习，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

cpp 复制代码

typedef int BTDataType;

typedef struct TreeNode
{
	BTDataType val;
	struct TreeNode* left;
	struct TreeNode* right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
BTNode* node=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if(NULL == node)
{
perror("malloc fail");
return NULL;
}
node->left=NULL;
node->right=NULL;
node->val=x;

return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{
BTNode* node1 = BuyNode(1);
BTNode* node2 = BuyNode(2);
BTNode* node3 = BuyNode(3);
BTNode* node4 = BuyNode(4);
BTNode* node5 = BuyNode(5);
BTNode* node6 = BuyNode(6);
node1->left = node2;
node1->right = node4;
node2->left = node3;
node4->left = node5;
node4->right = node6;
return node1;
}

创建如图所示的一棵树

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后面会讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

空树
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

一、二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

1. 前中后序遍历

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)------根结点---左子树---右子树
中序遍历(Inorder Traversal)------ 左子树---根结点---右子树
后序遍历(Postorder Traversal)------左子树---右子树---根结点

代码实现：

cpp 复制代码

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	printf("%c ", root->val);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->val);
}

结果为：

2. 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。遍历顺序如下图所示：

层序遍历是非递归性质的，想要实现它需要借助到队列，下面我们来分析如何借助队列来完成层序遍历，如果对队列有点遗忘可以参考http://t.csdnimg.cn/oNP4D。

队列最重要的性质就是先进先出，因此我们可以这样设计：

首先根结点先进队列：

然后出队列，再把根结点的左子树结点和右子树结点入队列，当前子树的结点为空则不进入：

接着继续出队列，并把出队列的那个结点的左右子树入队列：

继续出队列，入该结点的左右子树：

继续出队列，如果该结点的左右子树都为空了则不入，然后循环判断入不入队列，再出队列，直到队列为空时，停止循环，姐结果如下：

结果刚好就是层序遍历的顺序输出。

代码实现：

cpp 复制代码

// 层序遍历  (需要利用队列来完成)
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	//创建一个队列
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
	{
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->val);
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
}

结果如下：

注意：在队列中我们入队列的树结点的指针。

二、完全二叉树的判断

首先我们需要清楚完全二叉树的性质，如果树的高度是k层，那么k-1层为满二叉树，第k层结点从左到右是连续的。像下面这样

并且我们发现通过层序遍历，可以知道完全二叉树的null都是连续的，如果null后面还出现了非null则不是完全二叉树，所有趁热打铁只需结合层序遍历就可以分析出是否是完全二叉树。

代码如下：

cpp 复制代码

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q,root);

	//第一次循环找到NULL结点时跳出循环
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front == NULL)
		{
			break;
		}
		QueuePush(&q,front->left);
		QueuePush(&q,front->right);
	}
	//第二次循环继续出队列寻找是否存在非NULL的结点
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front)  //如果遇到了非NULL则不是完全二叉树
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

与层序不相同的是，如果当前结点的左右子树为空时一样需要进队列。整体逻辑就是先找到null结点，在继续往后找是否存在不是null的结点。

三、二叉树高度

二叉树的高度指的是树中节点的最大层次，如何找到最大层次呢，我们可以从简单的开始思考，只有一个结点的二叉树高度为1，像下面这样的二叉树高度呢

很容易看出高度都是2，因此我们可以归纳为这棵树的高度为，左右子树的最大高度的值+1。

代码如下：

cpp 复制代码

//二叉树高度
int BinaryTreeHight(BTNode* root)
{
	if (NULL == root)
	{
		return 0;
	}

	int leftHight = BinaryTreeHight(root->left);
	int rightHight = BinaryTreeHight(root->right);

	return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;
}

对于我们快速入门创建树高度为3

四、二叉树节点个数

计算二叉树的结点个数是比较简单的，这里我们可以想象一下，学校如果校长要统计全校人数该如何统计呢？

类似于这样，分别向下级询问然后依次向上面统计，这种思想也叫做分治思想。

因此我们这样设计代码：

cpp 复制代码

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	//左子树的结点个数 + 右子树的结点个数 + 结点本身
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

对于快速入门创建的树的结点为6

五、二叉树的叶子节点个数

计算叶子结点方法和计算结点个数类似，只需明白什么是叶子结点，叶子结点就是该结点的左右子树均为NULL则为叶子结点，把根结点左右子树的叶子结点相加就是叶子结点的个数

代码如下：

cpp 复制代码

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	//若当前结点的左右子树都为空，则该节点是叶子结点
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	//总数为左子树的叶子结点 +  右子树的叶子结点
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

结果如下：

六、第K层的结点个数

通过图上分析可以看出，第k层的结点树为k-1层的左右结点个数，因此我们可以通过递归完成。

代码如下：

cpp 复制代码

// 二叉树第k层节点个数 
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	//空结点就没有结点返回0
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	//当到达第一层时只有一个根结点，返回1
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	//（k-1层的左右子树结点之和）
	int leftsize = BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1);
	int rightsize = BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
	return leftsize + rightsize;
}

七、二叉树查找值为x的节点

对于二叉树的查找没有特别的技巧就是遍历依次查找，这里我们可以选择前序遍历的方法依次查找当查找到存在时，返回对应结点。但在这个过程中右一些细节，先看代码实现：

cpp 复制代码

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	//空结点则无法找到
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	//找到时 返回该结点
	if (root->val == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode* ret1=BinaryTreeFind(root->left, x);   //查找左子树是否存在
	if (ret1)
		return ret1;
	BTNode* ret2=BinaryTreeFind(root->right, x);  //查找右子树是否存在
	if (ret2)
		return ret2;
	//都找不到就返回NULL
	return NULL; 
}

细节：在整个递归过程中涉及到返回的结点，当递归创建的栈栈很深时不是直接返回跳出函数，而是一层一层往回返所以我们必须右变量先来接收，才能保证在找到该结点时能顺利返回。

八、通过前序遍历的数组构建二叉树

首先当给一个字符串"123###45##6##"这段字符串表示一个二叉树的前序遍历的结果其中#表示null，我们先尝试自己手动的画出这个树的样子。

当我们自己画的时候会根据根-左-右一步一步分析往下画，先构建左子树，当左边每个叶子结点都为#时结束，接着构建右子树，还是分析前序遍历的方法，最终所有的叶子结点都为#时结束。

代码如下：

cpp 复制代码

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a,int* pi)
{
	assert(a && pi);
	//构建子树结束条件遇到#返回空
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (NULL == root)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	}
	root->val = a[(*pi)++];
	root->left = BinaryTreeCreate(a, pi);    //递归构建左子树
	root->right = BinaryTreeCreate(a, pi);   //递归构建右子树
	return root;
}

九、二叉树的销毁

销毁二叉树时也有小的细节，比较下面两种方式

如果我们采用第二种方式，当销毁掉根结点后，则永远无法找到左右子树的位置，既无法访问也无法删除，则会导致内存泄漏，所有我们删除是从左右子树开始删除，最后删除根结点。

代码如下：

cpp 复制代码

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	assert(root);
	//空结点直接返回
	if (*root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeDestory(&(*root)->left);   //销毁结点的左子树
	BinaryTreeDestory(&(*root)->right);  //销毁结点的右子树
	free(*root);
	*root = NULL;
	return;
}

以上就是关于二叉树的一些基本操作，欢迎各位在评论区留下您的看法和建议，让我们一起探讨、共同进步！