动态规划01背包问题

01背包问题

---

问题描述

现有四个物品，小偷的背包总容量为8，怎么可以偷到价值最多的物品（注意：每件物品最多只有一件）

如：

物品编号：1 2 3 4

物品重量：2 3 4 5

物品价值：3 4 5 8

分析

我们记f(k,w)：当背包容量为w,现在有k件物品可以偷所能偷到的最大价值那么该问题就是f(4，8)我们根据下图来看一下

很明显这道题的状态转移方程为 f(k-1,w),wk>w(太重放不下)，max{f(k-1,w),f(k-1,w-wk)+vk},wk<=w

vk代表的是价值

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[5][9]={0};// 定义存储动态规划表的数组，f[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值
int w[5]={0,2,3,4,5};// 物品重量数组（0号物品不使用，物品从1开始
int v[5]={0,3,4,5,8};// 物品价值数组（0号物品不使用，物品从1开始）
signed main()
{
	int i,j;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=4;i++)// 遍历所有物品
	{
		for(int j=1;j<=8;j++)// 遍历所有背包容量
		{
			if(w[i]>j)// 如果当前物品的重量大于背包容量
			{
				f[i][j]=f[i-1][j];// 当前物品不能放入背包，继承上一个状态的值
			}
			else
			{
				// 当前物品可以放入背包，取不放入和放入背包两种情况的最大值
				f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=4;i++)
	{
        for(int j=0;j<=8;j++)
		{
			// 输出每个状态的最大价值
			cout << "f[" << i << "][" << j << "]=" << f[i][j] << endl;
		} 
	}
	return 0;	
}