矩阵无重复行列取数问题
题目:有一个矩阵,我每次可以取一个数,后面再取数时不能再取该数所在行和列的其他数,我现在想一直取直到无法再取数位置,现在想要取到的数的和最大,问应该怎么取,最大的和是多少。
思路:动态规划,来源chatGPT,使用rowMask和colMask表示当前的行和列的选择状态,动态规划每次输入一个选择状态,输出该选择状态下的最大的和,转移方程是从每次选择状态可以得到下一次可以选择的元素位置,遍历,得到最大的,返回。
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n; // 代表矩阵阶数
const int MAXN = 10; // 矩阵最大阶数
int matrix[MAXN][MAXN];
vector<vector<int>> path; // 记录每行在不同列选取状态下的最佳列选择
int solve(int row, int colMask) // 返回在当前的这个选择状态下的最大和
{
// 结束条件
if (row == n) // 说明都被选择了
{
return 0;
}
int maxSum = 0;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if ((colMask & (1 << j)) == 0) // 表示第j列还没有被选择
{
int curSum = matrix[row][j] + solve(row+1, colMask | (1 << j)); // 选择第(i,j)个,并将状态添加进去。
if (curSum > maxSum)
{
maxSum = curSum;
path[row][colMask] = j;
}
}
}
return maxSum;
}
int main()
{
n = 4;
vector<vector<int>> nums(n, vector<int>(n));
nums = { {1,2,3,4},{4,5,6,7},{7,8,9,10}, {8,7,3,1} };
path.assign(n, vector<int>(1 << n, -1)); // 初始化 path 表
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
matrix[i][j] = nums[i][j];
}
}
cout << solve(0, 0) << endl;
// 恢复并输出选择的路径
vector<pair<int, int>> solution;
int colMask = 0;
for (int row = 0; row < n; ++row) {
int col = path[row][colMask]; // 在已经选择了一些列和行的情况下的下一个最优选择
solution.emplace_back(row, col);
colMask |= (1 << col); // 标记选择了某一列
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cout << solution[i].first << ' ' << solution[i].second << endl;
}
return 0;
}