线性代数 第六讲 特征值和特征向量_相似对角化_实对称矩阵_重点题型总结详细解析

文章目录

  • 1.特征值和特征向量
    • [1.1 特征值和特征向量的定义](#1.1 特征值和特征向量的定义)
    • [1.2 特征值和特征向量的求法](#1.2 特征值和特征向量的求法)
    • [1.3 特征值特征向量的主要结论](#1.3 特征值特征向量的主要结论)
  • 2.相似
    • [2.1 相似的定义](#2.1 相似的定义)
    • [2.2 相似的性质](#2.2 相似的性质)
    • [2.3 相似的结论](#2.3 相似的结论)
  • 3.相似对角化
  • 4.实对称矩阵
    • [4.1 实对称矩阵的基本性质](#4.1 实对称矩阵的基本性质)
    • [4.2 施密特正交化](#4.2 施密特正交化)
  • 5.重难点题型总结
    • [5.1 判断矩阵能否相似对角化](#5.1 判断矩阵能否相似对角化)
    • [5.2 已知两个矩阵相似,求某个矩阵中的未知参数](#5.2 已知两个矩阵相似,求某个矩阵中的未知参数)
    • [5.3 相似时,求可逆矩阵P,使得P^-1^AP为对角矩阵](#5.3 相似时,求可逆矩阵P,使得P^-1^AP为对角矩阵)
    • [5.4 求正交矩阵Q,使Q^T^AQ=Λ](#5.4 求正交矩阵Q,使Q^T^AQ=Λ)
    • [5.5 给出条件矩阵A方=A,我们能分析出什么?](#5.5 给出条件矩阵A方=A,我们能分析出什么?)
    • [5.6 已知A为三阶实对称矩阵,三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量,求另外两个特征向量](#5.6 已知A为三阶实对称矩阵,三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量,求另外两个特征向量)

1.特征值和特征向量

1.1 特征值和特征向量的定义

A为n阶,α是n维非0列向量

Aα=λα,α叫A对应λ的特征向量,叫λ特征值

1.2 特征值和特征向量的求法

⭐️三种求法:

  • 方法一:利用定义Aα=λα
  • 方法二:|λE-A|=0,利用行列式和基础解系
  • 方法三:利用相似,P^-1^AP=B

方法一:

定义法,定义法常常用于A是抽象形式的矩阵,求解其特征值和特征向量的问题。

方法二:

理论基础:
由定义 A α = λ α , α ≠ 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 , α ≠ 0 ⇒ α 是 ( λ E − A ) x = 0 的非 0 解 由定义A\alpha = \lambda \alpha ,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \left(\lambda E - A\right)\alpha = 0,\alpha \neq 0\\\Rightarrow \alpha 是\left(\lambda E - A\right)x = 0的非0解 由定义Aα=λα,α=0⇒(λE−A)α=0,α=0⇒α是(λE−A)x=0的非0解

为什么先用行列式计算特征值,特征向量不能是零向量,所以是非零解,齐次线性方程是非零解,所以行列式=0,所以用行列式计算特征值,再用基础解系计算特征向量。

一.常规计算步骤

特征值的计算步骤:

第一步,计算行列式|λE-A|,因为存在非零解,秩必然是不满的,行列式=0,求出特征值。

第二步,通过求出的特征向量,代入回(λE-A)α=0这个齐次线性方程中,计算出特征向量即齐次线性方程的解向量。

二.通过已积累的结论,直接得出特征值

(1)上下三角矩阵,对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
[ 1 2 4 0 3 5 0 0 6 ] , 特征值为 λ 1 = 1 , λ 2 = 3 , λ 3 = 6 \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{matrix}\right],特征值为\lambda _{1} = 1,\lambda _{2} = 3,\lambda _{3} = 6 100230456 ,特征值为λ1=1,λ2=3,λ3=6

(2)秩1矩阵,特征值是它的迹,其余都是0
[ a a a a a a a a a ] 特征值为 λ 1 = 3 a , λ 2 = 0 , λ 3 = 0 \left[\begin{matrix} a & a & a \\ a & a & a \\ a & a & a \\ \end{matrix}\right]特征值为\lambda _{1} = 3a,\lambda _{2} = 0,\lambda _{3} = 0 aaaaaaaaa 特征值为λ1=3a,λ2=0,λ3=0

(3)通过已知矩阵A的特征值和特征向量,直接得到关于A矩阵其他基本变形的特征值和特征向量

f(A)多项式与A相似

1.3 特征值特征向量的主要结论

  1. 如a~1~a~2~是矩阵A关于特征值λ的特征向量,则k~1~a~1~+k~2~a~2~(非0时)仍是A关于λ的的特征向量。若a~1~a~2~是不同特征值的特征向量,则k~1~a~1~+k~2~a~2~不是A关于λ的的特征向量

∣ A ∣ = Π λ i , 其中 Π 是连乘 Σ λ i = Σ a i i = t r ( A ) , 矩阵的迹是特征值的和 \left|A\right| = \Pi \lambda {i},其中\Pi 是连乘\\\Sigma \lambda {i} = \Sigma a{ii} = t{r}\left(A\right),矩阵的迹是特征值的和 ∣A∣=Πλi,其中Π是连乘Σλi=Σaii=tr(A),矩阵的迹是特征值的和

3.不同特征值的特征向量线性无关

4.λ~i~是属于A的k重特征值,属于λ~i~的k重特征向量最多不超过k个。

2.相似

2.1 相似的定义

相似的定义:

A矩阵相似于B,A~B,意味着存在可逆矩阵P使P^-1^AP=B

注意注意:A相似于B,这句话是有方向性的,规定是P^-1^AP=B,而B=PAP^-1^,A相似于B不能颠倒,没有P^-1^BP=A这种说法

2.2 相似的性质

A~B,则有以下结论

(1)|A|=|B|

(2)r(A)=r(B)

(3)|λE-A|=|λE-B|,即λ~A~=λ~B~

(4)迹相同,特征值都相同,迹肯定相同

(5)A,B的各阶主子式之和分别相等

关于性质(5)的说明,各阶主子式就是选行和选列的时候,行下标和列下标是一样的,下面给出列子,给出三阶矩阵,求二阶主子式,二阶主子式仅适合用于0多的题
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] ,二阶主子式, [ 1 2 4 5 ] , [ 1 3 4 6 ] , [ 2 3 5 6 ] , [ 4 5 7 8 ] , [ 4 6 7 9 ] , [ 5 6 8 9 ] \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix}\right],二阶主子式,\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \\ \end{matrix}\right],\left[\begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \\ \end{matrix}\right] 147258369 ,二阶主子式,[1425],[1436],[2536],[4758],[4769],[5869]

(6)充要条件 A~B, A+kE~B+kE

2.3 相似的结论

A与B相似的进一步推导结论

矩阵A与B相似

  • A^-1^相似于B^-1^
  • A^*^相似于B^*^
  • A^T^相似于B^T^
  • 关于分块矩阵
    若 A ~ C , B ~ D , 则 [ A O O B ] ~ [ C O O D ] 若A~C,B~D,则\left[\begin{matrix} A & O \\ O & B \\ \end{matrix}\right]~\left[\begin{matrix} C & O \\ O & D \\ \end{matrix}\right] 若A~C,B~D,则[AOOB]~[COOD]

3.相似对角化

A为n阶矩阵,存在n阶可逆矩阵P,若P^-1^AP=Λ,则称A可相似对角化,记做A~Λ,称对角矩阵是A的相似标准型。

关于相似对角化的结论总结:

注意充要条件和充分条件

4.实对称矩阵

4.1 实对称矩阵的基本性质

关于实对称矩阵,有更良好的性质,直接就满足可以相似对角化,并且还可以用正交矩阵相似对角化

实对称矩阵A^T^=A

1.实对称矩阵必与对角矩阵相似(可相似对角化)

2.实对称矩阵特征值不同 特征向量相互正交

3.实对称矩阵可用正交矩阵相似对角化

Q^-1^AQ=Q^T^AQ=Λ

因为QQ^T^=E,.Q^-1^=Q^T^

4.2 施密特正交化

根据 实对称矩阵的基本性质,不同特征值的特征向量相互正交,所以我们应该使用施密特正交化将相同特征值下的特征向量正交化,最后特征向量都要单位化。

施密特正交化公式:

5.重难点题型总结

5.1 判断矩阵能否相似对角化

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.15

例题2:来源 李永乐线代辅导讲义 例5.18

5.2 已知两个矩阵相似,求某个矩阵中的未知参数

解题思路:常常利用两个矩阵相似的性质,若相似矩阵之间的迹相等,行列式相等,各阶主子式之和相等

5.3 相似时,求可逆矩阵P,使得P^-1^AP为对角矩阵

利用相似的传递性

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.20

5.4 求正交矩阵Q,使Q^T^AQ=Λ

例题1:来源 李永乐线代辅导讲义例5.27

5.5 给出条件矩阵A方=A,我们能分析出什么?

有些题目中,给出矩阵A^2^=A的时候,我们可以得到两方面信息,一方面是关于秩,一方面是关于特征值。

关于秩:
A 2 = A ⇒ A 2 − A = 0 ⇒ A ( A − E ) = 0 ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≤ n A − ( A − E ) = E ⇒ r ( A ) + r ( B ) ≥ r ( A + B ) ⇒ r ( A ) + r ( A − E ) ≥ r ( E ) = n 综上所述,结论如下: r ( A ) + r ( A − E ) = n A^{2} = A\Rightarrow A^{2} - A = 0\Rightarrow A\left(A - E\right) = 0\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \leq n\\A - \left(A - E\right) = E\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(B\right) \geq r\left(A + B\right)\Rightarrow r\left(A\right) + r\left(A - E\right) \geq r\left(E\right) = n\\综上所述,结论如下:r\left(A\right) + r\left(A - E\right) = n A2=A⇒A2−A=0⇒A(A−E)=0⇒r(A)+r(A−E)≤nA−(A−E)=E⇒r(A)+r(B)≥r(A+B)⇒r(A)+r(A−E)≥r(E)=n综上所述,结论如下:r(A)+r(A−E)=n

关于特征值:

5.6 已知A为三阶实对称矩阵,三个特征值组成形式为(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量,求另外两个特征向量

先不谈这个问题,明确该类问题大方向

首先矩阵一定得是实对称的,因为它的底层原理是实对称向量内积=0

1.假如已知三个特征值,但是它们都是单根,已知一个特征值的特征向量,是无法求出另外两个特征向量的。

2.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和单根特征值的对应的特征向量,求另外两个特征向量,这是可以求出的。

3.假如已知A的三个特征值的组成形式是(二重根+单根)和重根特征值的对应的两个特征向量,求单根的特征向量,也是可以求出的。

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