kalman滤波二:二维目标跟踪

文章目录

二维目标跟踪

对于一个二维目标跟踪问题,其中目标的状态量包括位置( x , y x, y x,y)、速度( v x , v y v_x, v_y vx,vy)和加速度( a x , a y a_x, a_y ax,ay),Kalman滤波器的方程可以如下定义:

状态向量

定义状态向量 x k \mathbf{x}_k xk为:
x k = [ x y v x v y a x a y ] k \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x \\ y \\ v_x \\ v_y \\ a_x \\ a_y \end{bmatrix}_k xk= xyvxvyaxay k

这里, x x x和 y y y表示目标在二维空间中的位置, v x v_x vx和 v y v_y vy表示目标在 x x x和 y y y方向上的速度, a x a_x ax和 a y a_y ay表示目标在 x x x和 y y y方向的加速度。

状态转移矩阵

状态转移矩阵 F \mathbf{F} F描述了状态向量如何随时间演变:
F = [ 1 0 Δ t 0 0.5 Δ t 2 0 0 1 0 Δ t 0 0.5 Δ t 2 0 0 1 0 Δ t 0 0 0 0 1 0 Δ t 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \Delta t & 0 & 0.5\Delta t^2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 & 0.5\Delta t^2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \Delta t \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} F= 100000010000Δt010000Δt01000.5Δt20Δt01000.5Δt20Δt01

其中, Δ t \Delta t Δt是时间步长。

观测矩阵

观测矩阵 H \mathbf{H} H将状态空间映射到观测空间。如果观测只包含位置信息,则:
H = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] \mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} H=[100100000000]

观测向量

观测向量 z k \mathbf{z}_k zk包含目标的观测位置:
z k = [ z x z y ] k \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_x \\ z_y \end{bmatrix}_k zk=[zxzy]k

其中, z x z_x zx和 z y z_y zy是从图像或其他传感器获得的目标位置观测值。

过程噪声协方差矩阵

过程噪声协方差矩阵 Q \mathbf{Q} Q描述了模型的不确定性:
Q = [ q x 0 0 0 0 0 0 q y 0 0 0 0 0 0 q v x 0 0 0 0 0 0 q v y 0 0 0 0 0 0 q a x 0 0 0 0 0 0 q a y ] \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} q_x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_{v_x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_{v_y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & q_{a_x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & q_{a_y} \end{bmatrix} Q= qx000000qy000000qvx000000qvy000000qax000000qay

这里, q x , q y , q v x , q v y , q a x , q a y q_x, q_y, q_{v_x}, q_{v_y}, q_{a_x}, q_{a_y} qx,qy,qvx,qvy,qax,qay是对应状态的噪声方差。

观测噪声协方差矩阵

观测噪声协方差矩阵 R \mathbf{R} R描述了观测的不确定性:
R = [ r x 0 0 r y ] \mathbf{R} = \begin{bmatrix} r_x & 0 \\ 0 & r_y \end{bmatrix} R=[rx00ry]

这里, r x r_x rx和 r y r_y ry是观测噪声的方差。

卡尔曼增益

卡尔曼增益 K \mathbf{K} K用于更新状态估计:
K = P k ∣ k − 1 H T ( H P k ∣ k − 1 H T + R ) − 1 \mathbf{K} = \mathbf{P}{k|k-1} \mathbf{H}^T {(\mathbf{H} \mathbf{P}{k|k-1} \mathbf{H}^T + \mathbf{R} )}^{-1} K=Pk∣k−1HT(HPk∣k−1HT+R)−1

更新方程

x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K ( z k − H x ^ k ∣ k − 1 ) \mathbf{\hat{x}}{k|k} = \mathbf{\hat{x}}{k|k-1} + \mathbf{K} ( \mathbf{z}k - \mathbf{H} \mathbf{\hat{x}}{k|k-1} ) x^k∣k=x^k∣k−1+K(zk−Hx^k∣k−1)
P k ∣ k = ( I − K H ) P k ∣ k − 1 \mathbf{P}{k|k} = ( \mathbf{I} - \mathbf{K} \mathbf{H} ) \mathbf{P}{k|k-1} Pk∣k=(I−KH)Pk∣k−1

cpp 复制代码
#include "eigen3/Eigen/Dense"
class KalmanFilter {
private:
    Eigen::MatrixXd X; // 状态向量 [x, y, vx, vy, ax, ay]
    Eigen::MatrixXd P; // 误差协方差矩阵
    Eigen::MatrixXd F; // 状态转移矩阵
    Eigen::MatrixXd H; // 观测矩阵
    Eigen::MatrixXd Q; // 过程噪声协方差矩阵
    Eigen::MatrixXd R; // 观测噪声协方差矩阵
    Eigen::MatrixXd K; // 卡尔曼增益

public:
    KalmanFilter() {
        // 初始化状态向量
        X = Eigen::MatrixXd::Zero(6, 1);

        // 初始化误差协方差矩阵
        P = Eigen::MatrixXd::Identity(6, 6) * 500;

        // 定义状态转移矩阵
        F = Eigen::MatrixXd::Zero(6, 6);
        // F << 1, 0, 1, 0, 0.5, 0,
        //       0, 1, 0, 1, 0, 0.5,
        //       0, 0, 1, 0, 1, 0,
        //       0, 0, 0, 1, 0, 1,
        //       0, 0, 0, 0, 1, 0,
        //       0, 0, 0, 0, 0, 1;

        float dt = 1.0 / 24.0f; // 24fps
        F << 1, 0, 1*dt, 0, 0.5*dt*dt, 0,
              0, 1, 0, 1*dt, 0, 0.5*dt*dt,
              0, 0, 1, 0, 1*dt, 0,
              0, 0, 0, 1, 0, 1*dt,
              0, 0, 0, 0, 1, 0,
              0, 0, 0, 0, 0, 1;

        // 定义观测矩阵 (只观测位置)
        H = Eigen::MatrixXd::Zero(2, 6);
        H << 1, 0, 0, 0, 0, 0,
              0, 1, 0, 0, 0, 0;

        // 定义过程噪声协方差矩阵
        Q = Eigen::MatrixXd::Identity(6, 6) * 3.0;

        // 定义观测噪声协方差矩阵
        R = Eigen::MatrixXd::Identity(2, 2) * 0.5;

        // 卡尔曼增益
        K = Eigen::MatrixXd::Zero(6, 2);
    }

    void predict() {
        X = F * X;
        P = F * P * F.transpose() + Q;
    }

    void update(const Eigen::MatrixXd& Z) {
        Eigen::MatrixXd K = P * H.transpose() * (H * P * H.transpose() + R).inverse();
        X = X + K * (Z - H * X);
        P = (Eigen::MatrixXd::Identity(6, 6) - K * H) * P;
    }

    void setState(const Eigen::MatrixXd& state) {
        X = state;
    }

    Eigen::MatrixXd getState() const {
        return X;
    }
};
相关推荐
移远通信13 分钟前
2025上海车展 | 移远通信全栈车载智能解决方案重磅亮相,重构“全域智能”出行新范式
人工智能
蹦蹦跳跳真可爱5893 小时前
Python----深度学习(基于深度学习Pytroch簇分类,圆环分类,月牙分类)
人工智能·pytorch·python·深度学习·分类
蚂蚁20145 小时前
卷积神经网络(二)
人工智能·计算机视觉
z_mazin7 小时前
反爬虫机制中的验证码识别:类型、技术难点与应对策略
人工智能·计算机视觉·目标跟踪
lixy5797 小时前
深度学习3.7 softmax回归的简洁实现
人工智能·深度学习·回归
youhebuke2257 小时前
利用deepseek快速生成甘特图
人工智能·甘特图·deepseek
訾博ZiBo8 小时前
AI日报 - 2025年04月26日
人工智能
郭不耐8 小时前
DeepSeek智能时空数据分析(三):专业级地理数据可视化赏析-《杭州市国土空间总体规划(2021-2035年)》
人工智能·信息可视化·数据分析·毕业设计·数据可视化·城市规划
AI军哥8 小时前
MySQL8的安装方法
人工智能·mysql·yolo·机器学习·deepseek
余弦的倒数8 小时前
知识蒸馏和迁移学习的区别
人工智能·机器学习·迁移学习