【算法专场】分治(上)

目录

前言

什么是分治?

[75. 颜色分类](#75. 颜色分类)

算法分析

算法步骤

算法代码

[912. 排序数组 - 力扣(LeetCode)](#912. 排序数组 - 力扣(LeetCode))

算法分析

算法步骤

算法代码

[215. 数组中的第K个最大元素 - 力扣(LeetCode)](#215. 数组中的第K个最大元素 - 力扣(LeetCode))

算法分析

算法步骤

​编辑

算法代码

[LCR 159. 库存管理 III - 力扣(LeetCode)](#LCR 159. 库存管理 III - 力扣(LeetCode))

算法分析

算法步骤

算法代码


前言

在前面,我们学习了八大排序,那么其中的快速排序和归并排序都用到了分治的思想。在算法中,有时候我们也需要利用分治的思想来解决一些算法问题。本篇我们主要讲解快速排序。

什么是分治?

分治算法是一种算法设计策略,将大问题转化为小问题,再将小问题转化为更小的问题,通过解决子问题来大问题。也就是说,把问题分解成若干个规模较小的问题,然后通过递归的方法来解决这些子问题,最后将子问题合并起来得到想要的结果。

步骤:

  1. 分解:将问题分解成若干个较小且独立的子问题,一般是通过递归实现;
  2. 解决:分解成小问题之后,在每个子问题中解决问题需求
  3. 归并:把问题解决完之后,将子问题进行合并。

接下来,我们就来通过一些练习来加深对分治思想的理解。

75. 颜色分类

算法分析

这道题的话就是要求我们将0、1、2这三个数依次从小排到大,那么对于这道题的话,其实我们有好几种排序方法都可以解决这道题,甚至我们可以使用java中的Arrays.sort()方法都可以解决,但是这里是不允许的。我们这里可以使用分治的思想来解决这道题。

算法步骤

算法代码

java 复制代码
class Solution {
    /**
     * 交换数组中的两个元素
     * 
     * @param arr 数组
     * @param left 左侧元素的索引
     * @param right 右侧元素的索引
     */
    public void swap(int[] arr, int left, int right) {
        int tmp = arr[left];
        arr[left] = arr[right];
        arr[right] = tmp;
    }

    /**
     * 对颜色进行排序,将0放到数组的左边,2放到数组的右边,1保持原位
     * 
     * @param nums 需要排序的颜色数组,其中的颜色用0、1、2表示
     */
    public void sortColors(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int i = 0, left = -1, right = n;
        // 遍历数组,根据元素的值进行交换,最终达到0在左边,2在右边的目的
        while (i < right) {
            if (nums[i] == 0) {
                swap(nums, i++, ++left);
            } else if (nums[i] == 2) {
                swap(nums, i, --right);
            } else {
                i++;
            }
        }
    }
}

时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1).

912. 排序数组 - 力扣(LeetCode)

算法分析

对于这种排序的题目,其实我们有很多种排序的方法可以解决,但是我们这里只讲如何使用分治的思想来解决这些排序题。

算法步骤

对于这道题,我们可以采用分治的思想来解决,将数组划分为n个子数组,并且在n个子数组中使用类似快排的步骤来进行排序。同时我们需要注意:快排在趋近有序的情况下的时间复杂度为O(n^2),所以我们可以采用优化方法,如三数取中法,随机取值方法,这里我们采用的是随机取值法,使得算法的时间步骤度降为O(N*logN)

算法代码

java 复制代码
/**
 * Solution 类用于提供一种基于快速排序的数组排序解决方案
 */
class Solution {
    /**
     * 对数组进行快速排序
     * 
     * @param nums 待排序的整数数组
     * @return 排序后的数组
     */
    public int[] sortArray(int[] nums) {
        qsort(nums, 0, nums.length - 1);
        return nums;
    }

    /**
     * 交换数组中两个指定位置的元素
     * 
     * @param nums 整数数组
     * @param left 左侧位置索引
     * @param right 右侧位置索引
     */
    public void swap(int[] nums, int left, int right) {
        int temp = nums[left];
        nums[left] = nums[right];
        nums[right] = temp;
    }

    /**
     * 使用快速排序算法对数组进行排序
     * 
     * @param nums 待排序的整数数组
     * @param left 排序开始的左边界索引
     * @param right 排序结束的右边界索引
     */
    public void qsort(int[] nums, int left, int right) {
        if (left >= right) return;
        int key = nums[new Random().nextInt(right - left + 1) + left];
        int i = left, L = left - 1, R = right + 1;
        while (i < R) {
            if (nums[i] < key) swap(nums, ++L, i++);
            else if (nums[i] == key) i++;
            else swap(nums, i, --R);
        }
        qsort(nums, left, L);
        qsort(nums, R, right);
    }
}

215. 数组中的第K个最大元素 - 力扣(LeetCode)

算法分析

这道题其实就是TOP-K问题,我们可以使用优先级队列(堆)的方法来解决这个问题:首先我们可以创建一个小根堆,在这个小根堆中放入k个元素,接着遍历剩余的n-k个元素,查看堆顶元素是不是小于数组中的元素,若小于则进行替换。当然,我们这里主要讲分治思想,那么我们同样是利用快排来解决这道题。

算法步骤

算法代码

java 复制代码
/**
 * Solution类用于解决寻找数组中第k大的元素的问题
 */
class Solution {
    /**
     * 寻找数组中第k大的元素
     * 
     * @param nums 输入的整数数组
     * @param k 指定的第k大元素
     * @return 数组中第k大的元素
     */
    public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        // 调用快速排序相关函数来寻找第k大的元素
        return qsort(nums, 0, nums.length - 1, k);
    }

    /**
     * 快速排序算法的实现,用于寻找第k大的元素
     * 
     * @param nums 输入的整数数组
     * @param l 排序区间的左边界
     * @param r 排序区间的右边界
     * @param k 指定的第k大元素
     * @return 第k大的元素
     */
    private int qsort(int[] nums, int l, int r, int k) {

        // 如果左右指针相遇,直接返回该位置的元素
        if(l == r) return nums[l];

        // 随机选择一个基准值
        int key = nums[new Random().nextInt(r - l + 1) + l];
        int left = l - 1, right = r + 1, i = l;
        
        // 分区过程,将数组分为三部分:小于基准值的、等于基准值的和大于基准值的
        while(i < right) {
            if(nums[i] < key) swap(nums, ++left, i++);
            else if(nums[i] > key) swap(nums, i, --right);
            else i++;
        }

        // 根据分区结果,决定下一步的查找范围
        int b = right - left - 1; // 等于基准值的区域大小
        int c = r - right + 1; // 大于基准值的区域大小
        if(c >= k) return qsort(nums, right, r, k); // 如果第k大在大于基准值的区域
        else if(b + c >= k) return key; // 如果第k大在等于基准值的区域
        return qsort(nums, l, left, k - b - c); // 否则在小于基准值的区域继续查找
    }

    /**
     * 交换数组中两个元素的位置
     * 
     * @param nums 输入的整数数组
     * @param i 第一个元素的索引
     * @param j 第二个元素的索引
     */
    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }
}

LCR 159. 库存管理 III - 力扣(LeetCode)

算法分析

本道题其实与前面的找第k个最大元素类似,我们依旧可以使用排序,然后有另一个数组记录[0,k]期间的数,但本道题我们可以采用分治的思想,利用快排来解决。

算法步骤

当我们完成上述的过程后,我们需要利用一个大小为k的数组ret来接收nums数组中【0,k】区间的数.

算法代码

java 复制代码
class Solution {
    /**
     * 库存管理函数,通过快速排序算法对库存进行管理
     *
     * @param stock 库存数据数组
     * @param cnt 需要管理的库存项数量
     * @return 管理后的库存数组
     */
    public int[] inventoryManagement(int[] stock, int cnt) {
        // 使用快速排序对库存数组进行排序
        qsort(stock, 0, stock.length - 1, cnt);

        // 创建一个新的数组来存储管理后的库存数据
        int[] ret = new int[cnt];
        // 将排序后的库存数据的前cnt个元素复制到新的数组中
        for(int i=0;i<cnt;i++) {
            ret[i] = stock[i];
        }

        // 返回管理后的库存数组
        return ret;
    }

    /**
     * 交换数组中两个元素的位置
     *
     * @param nums 数组
     * @param left 左侧元素索引
     * @param right 右侧元素索引
     */
    public void swap(int[] nums, int left, int right){
        int temp = nums[left];
        nums[left] = nums[right];
        nums[right] = temp;
    }

    /**
     * 快速排序算法的实现
     *
     * @param nums 待排序的数组
     * @param left 排序开始的左侧索引
     * @param right 排序结束的右侧索引
     * @param k 需要管理的库存项数量,用于决定排序的范围
     */
    private void qsort(int[] nums, int left, int right, int k){
        if(left >= right) return;
        int key = nums[new Random().nextInt(right - left + 1) + left];
        int i = left, L = left - 1, R = right + 1;
        while(i < R){
            if(nums[i]<key) swap(nums,++L,i++);
            else if(nums[i]==key) i++;
            else swap(nums,i,--R);
        }

        // 根据分区结果,决定下一步的查找范围
        int a=L-left+1;
        int b=R-L-1;
        if(a>=k) qsort(nums,left,L,k);
        else if(a+b>=k) return;
        else qsort(nums,R,right,k-a-b);
    }
}

以上就是采用分治思想使用快排的一些题目。

本篇就先到这里啦~下一篇将为大家讲解采用归并排序如何解决一些算法题目。

若有不足,欢迎指正~

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