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一、函数的极值及其求法
定义 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 x 0 x_0 x0 的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0) 内有定义，如果对于去心邻域 U ˚ ( x 0 ) \mathring{U}(x_0) U˚(x0) 内的任一 x x x ，有
f ( x ) < f ( x 0 ) ( 或 f ( x ) > f ( x 0 ) ) , f(x) < f(x_0) \quad (或 f(x) > f(x_0)) , f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么就称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极大值 （或极小值）。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 ，是函数取得极值的点称为极值点。
函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的一个极大值，那只是就 x 0 x_0 x0 附近的一个局部范围来说， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个最大值；如果就 f ( x ) f(x) f(x) 的整个定义域来说， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 不见得是最大值。关于极小值也类似。
定理1（必要条件 ） 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处可导，且在 x 0 x_0 x0 处取得极值，则 f ′ ( x 0 ) = 0 f^{'}(x_0) = 0 f′(x0)=0 。
定理1就是说：可导函数 f ( x ) f(x) f(x) 的极值点必定是它的驻点。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。
定理2（第一充分条件 ） 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处连续，且在 x 0 x_0 x0 的某去心邻域 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0, \delta) U˚(x0,δ) 内可导。
（1）若 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) x \in (x_0 - \delta, x_0) x∈(x0−δ,x0) 时， f ′ ( x ) > 0 f^{'}(x) > 0 f′(x)>0 ，而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) x \in (x_0, x_0 + \delta) x∈(x0,x0+δ) 时， f ′ ( x ) < 0 f^{'}(x) < 0 f′(x)<0 ，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处取得极大值；
（2）若 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) x \in (x_0 - \delta, x_0) x∈(x0−δ,x0) 时， f ′ ( x ) < 0 f^{'}(x) < 0 f′(x)<0 ，而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) x \in (x_0, x_0 + \delta) x∈(x0,x0+δ) 时， f ′ ( x ) > 0 f^{'}(x) > 0 f′(x)>0 ，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处取得极小值；
（3）若 U ˚ ( x 0 , δ ) \mathring{U}(x_0, \delta) U˚(x0,δ) 时， f ( x ) f(x) f(x) 的符号保持不变，则 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处没有极值。
根据上面两个定理，如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按一下步骤来求 f ( x ) f(x) f(x) 在该区间内的极值点和相应的极值：
（1）求出导数 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x) ；
（2）求出 f ( x ) f(x) f(x) 的全部驻点与不可导点；
（3）考察 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x) 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
（4）求出各极值点的函数值，就得函数 f ( x ) f(x) f(x) 的全部极值。
定理3（第二充分条件 ） 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处具有二阶导数且 f ′ ( x 0 ) = 0 f^{'}(x_0) = 0 f′(x0)=0 ， f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^{''}(x_0) \neq 0 f′′(x0)=0 ，则
（1）当 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f^{''}(x_0) < 0 f′′(x0)<0 时，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处取得极大值；
（2）当 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f^{''}(x_0) > 0 f′′(x0)>0 时，函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处取得极小值。
定理3表明，如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在驻点 x 0 x_0 x0 处的二阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f^{''}(x_0) \neq 0 f′′(x0)=0 ，那么该驻点 x 0 x_0 x0 一定是 极值点，并且可按二阶导数 f ′ ′ ( x 0 ) f^{''}(x_0) f′′(x0) 的符号来判定 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是极大值还是极小值。但如果 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f^{''}(x_0) = 0 f′′(x0)=0 ，那么定理3就不能应用。事实上 ，当 f ′ ( x 0 ) = 0 f^{'}(x_0) = 0 f′(x0)=0 ， f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f^{''}(x_0) = 0 f′′(x0)=0 时， f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值。因此，如果函数的驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左、右邻近的符号来判定。如果函数在驻点处有 f ′ ′ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f^{''}(x_0) = \cdots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0 f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0 ， f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 f^{(n)}(x_0) \neq 0 f(n)(x0)=0 ，那么也可以利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来判定。
二、最大值最小值问题
假定函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，在开区间 ( a , b ) (a, b) (a,b) 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。在上述条件下，我们来讨论 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的最大值和最小值的求法。
首先，由闭区间上连续函数的性质可知， f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的最大值和最小值一定存在。
其次，如果最大值（或最小值） f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 在开区间 ( a , b ) (a, b) (a,b) 内的点 x 0 x_0 x0 处取得，那么，按 f ( x ) f(x) f(x) 在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 一定也是 f ( x ) f(x) f(x) 的极大值（或极小值），从而 x 0 x_0 x0 一定是 f ( x ) f(x) f(x) 的驻点或不可导点。又 f ( x ) f(x) f(x) 的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的最大值和最小值：
（1）求出 f ( x ) f(x) f(x) 在 ( a , b ) (a, b) (a,b) 内的驻点及不可导点；
（2）计算 f ( x ) f(x) f(x) 在上述驻点、不可导点出的函数值及 f ( a ) f(a) f(a) ， f ( b ) f(b) f(b) ；
（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的最大值，最小的便是 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的最小值。
在求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述情形： f ( x ) f(x) f(x) 在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点 x 0 x_0 x0 ，并且这个驻点 x 0 x_0 x0 是函数 f ( x ) f(x) f(x) 的极值点，那么，当 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是极大值时， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 就是 f ( x ) f(x) f(x) 在该区间上的最大值；当 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是极小值时， f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 就是 f ( x ) f(x) f(x) 在该区间上的最小值。
还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数 f ( x ) f(x) f(x) 确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得。这时，如果 f ( x ) f(x) f(x) 在定义区间内部只有一个驻点 x 0 x_0 x0 ，那么不必讨论 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是不是极值，就可以断定 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 是最大值或最小值。