二叉搜索树是一个很重要的数据结构,它的特殊结构可以在很短的时间复杂度找到我们想要的数据。最坏情况下的时间复杂度是O(n),最好是O(logn)。接下来看一看它的接口函数的实现。
为了使用方便,这里采用模版的方式:
一、节点
cpp
template <class K>
struct BSnode
{
BSnode(K key)
:_key(key)
{}
K _key;
BSnode* _left = nullptr;
BSnode* _right = nullptr;
};
_key用来储存数据,_left和_right用来储存左子树和右子树的节点。
二、搜索树的类的定义
cpp
template <class K>
class BSTree
{
private:
using Node = BSnode<K>;
Node* _root = nullptr;
};
这里typedef了BSnode<K>为Node的类型,方便使用。并创建了根节点,缺省值为空指针。
三、搜索树的插入
搜索树的结构是左子树所有节点的值小于等于根结点的值,右子树所有节点的值大于等于根节点的值。在这里我不考虑等于的情况,即一棵树中不允许出现相同的值。代码如下:
cpp
//搜索树的插入
bool Insert(K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
if (cur == nullptr)
{
_root = new Node(key);
}
else
{
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
if (key > parent->_key)//插入的值大于父亲节点,那么就需要在父亲节点的右边插入
{
parent->_right = new Node(key);
}
else//插入的值小于父亲节点,那么就需要在父亲节点的左边插入
{
parent->_left = new Node(key);
}
}
return true;
}
代码大体情况如下:
1.第一次插入数据的时候,根节点指向空,需要单独讨论。
2.根节点不为空,那么就根据搜索树的特点找到最后插入的位置,申请新节点,连接新节点。
3.找不到插入的位置,即插入的数据已经存在,返回false。
四、搜索树的查找
cpp
//搜索树的查找
Node* Find(const K& key)
{
assert(_root);
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
这段代码是根据搜索树的特点进行查找(搜索的值大于根,那么去右子树查找,小于则去左子树查找),倘若找到,返回该节点指针,找不到,返回空指针。
五、搜索树的删除
搜索树的删除偏向复杂,在我写出的代码中大致分为以下几点:
1.删除的数据在叶子节点上。
2.删除的节点不在叶子节点上,但是它的左右节点至少有一个是空。
3.删除的节点不在叶子节点上,且左右子树都不为空。
4.删除的节点在根节点,根节点至少有一个为空。
通过总结可以精简以上条件:
1.删除的节点的左右节点至少有一个为空。
2.删除的节点的左右节点都不为空。
代码如下:
cpp
//搜索二叉树的删除
bool Erase(const K& key)
{
assert(_root);
//先找到要删除的节点
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
break;
}
}
//找不到要删除的数据,返回false
if (cur == nullptr)return false;
//找到了
//处理"该节点的左孩子或者右孩子为空,或者左右孩子均为空"
if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr)
{
//该节点是根,且且根节点至少一个子树为空
if (parent == nullptr)//parent为空,证明输入的是根节点,且根节点至少一个子树为空
{
_root->_left == nullptr ? _root = _root->_right : _root = _root->_left;
delete cur;
}
//该节点是左孩子
else if (cur == parent->_left)
{
//左节点为空
if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//右节点为空
else if(cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//左右节点均为空
else
{
parent->_left = nullptr;
}
//释放资源
delete cur;
}
//该节点是右孩子
else if (cur == parent->_right)
{
//左节点为空
if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr)
{
parent->_right = cur->_right;
}
//右节点为空
else if (cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr)
{
parent->_right = cur->_left;
}
//左右节点均为空
else
{
parent->_right = nullptr;
}
//释放资源
delete cur;
}
}
//处理"该节点的左右孩子均不为空"
else
{
//找到左节点的最大值
Node* Fparent = cur;
Node* Fcur = cur->_left;
while (Fcur ->_right)
{
Fparent = Fcur;
Fcur = Fcur->_right;
}
//交换节点的值
cur->_key = Fcur->_key;
//Fcur的左边有数据
if (Fcur->_left)
{
Fparent->_right = Fcur->_left;
delete Fcur;
}
//Fcur的左边没有数据
else
{
if(Fcur == Fparent->_left)
{
Fparent->_left = nullptr;
}
else
{
Fparent->_right = nullptr;
}
delete Fcur;
}
}
return true;
}
首先是先要找到删除的数据,若找不到,返回false,若找到,那么进行下一步:
找到后还有如下情况:
1.删除的节点的左右节点至少有一个为空。
对应代码:
cpp
//处理"该节点的左孩子或者右孩子为空,或者左右孩子均为空"
if (cur->_left == nullptr || cur->_right == nullptr)
{
//该节点是根,且且根节点至少一个子树为空
if (parent == nullptr)//parent为空,证明输入的是根节点,且根节点至少一个子树为空
{
_root->_left == nullptr ? _root = _root->_right : _root = _root->_left;
delete cur;
}
//该节点是左孩子
else if (cur == parent->_left)
{
//左节点为空
if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//右节点为空
else if(cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//左右节点均为空
else
{
parent->_left = nullptr;
}
//释放资源
delete cur;
}
//该节点是右孩子
else if (cur == parent->_right)
{
//左节点为空
if (cur->_left == nullptr && cur->_right != nullptr)
{
parent->_right = cur->_right;
}
//右节点为空
else if (cur->_left != nullptr && cur->_right == nullptr)
{
parent->_right = cur->_left;
}
//左右节点均为空
else
{
parent->_right = nullptr;
}
//释放资源
delete cur;
}
}
原理:由于删除的节点左右子树至少有一个为空,那么就可以让父节点继承被删除节点的非空节点。继承后,删除该节点。如果被删除的节点的左右子树都为空,即被删除的节点是叶子节点,那么就可以直接删除叶子节点,然后将父节点指向空。
以上代码分别对删除的节点是左子树还是右子树的情况下,删除的节点是否有左子树,是否有右子树,还是左右子树都没有进行讨论,涵盖所有情况。值得注意的是,当搜索树呈现链状的时候,如果删除的是根节点,此时的父节点是空,不能进行访问,那么需要在这里单独讨论。将根节点移动到有数据的那个子节点。
2.删除的节点的左右节点都不为空。
对应代码:
cpp
//处理"该节点的左右孩子均不为空"
else
{
//找到左节点的最大值
Node* Fparent = cur;
Node* Fcur = cur->_left;
while (Fcur ->_right)
{
Fparent = Fcur;
Fcur = Fcur->_right;
}
//交换节点的值
cur->_key = Fcur->_key;
//Fcur的左边有数据
if (Fcur->_left)
{
Fparent->_right = Fcur->_left;
delete Fcur;
}
//Fcur的左边没有数据
else
{
if(Fcur == Fparent->_left)
{
Fparent->_left = nullptr;
}
else
{
Fparent->_right = nullptr;
}
delete Fcur;
}
}
第二种情况就不能直接进行交换。因为父节点没有多余的指针指向被删除节点的左右节点。那么在这里的思想是找到一个比被删除的节点的左孩子大,右孩子小。符合条件的是:左子树的最大值,或者右子树的最小值。找到之后交换节点值。但是还是需要注意的是,找到最大值以后,分为两种情况:
a.最大值的左边为空。
b.最大值的左边不为空。
那么进行讨论:比如删除的数据是8。
a.最大值的左边为空:
这个条件下可以直接交换删除
b.最大值的左边不为空:
这种情况下就需要将父节点的右节点(最大值的位置)指向最大值的左节点。
在这段代码中:
cpp
//找到左节点的最大值
Node* Fparent = cur;
Node* Fcur = cur->_left;
while (Fcur ->_right)
{
Fparent = Fcur;
Fcur = Fcur->_right;
}
Node* Fparent = cur;的目的是避免这种情况下,空指针解引用的问题:删除的数据是3:
倘若Fparent 为空
此时Fcur已经为叶子节点(已经为3的左子树的最大值),while循环不会进而以下代码会对Fparent解引用,造成访问空指针的错误。如果将Fparent复制为cur,那么从一开始,Fparent就是Fcur的父节点,既不违反逻辑,也解决了问题。
因为此时1在父节点的左边,所以综上所述,再删除节点的同时也是需要判断被删除的节点是左节点还是右节点。
示例:
cpp
int main()
{
BSTree<int> tree;
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
for (auto f : a)
{
tree.Insert(f);
}
for (auto f : a)
{
tree.Erase(f);
tree.InTraversal();
cout << endl;
}
return 0;
}
结果(中序遍历):