【算法-基数排序】

基数排序是一种非比较排序算法,利用元素的数字或字符的位数来排序。它通过逐位对数据进行排序,从最低有效位到最高有效位(或相反)依次进行,直到整个数组有序。基数排序通常用于对整数或字符串进行排序。

工作原理

基数排序将要排序的数字或字符串看作由多个"位"组成(如十进制数的个位、十位、百位,或者字符串的每个字符),然后依次对每一位进行排序。它本质上是基于桶排序(Bucket Sort)或计数排序(Counting Sort)的稳定排序。

基数排序的过程可以分为两种方法:

  • LSD(Least Significant Digit):从最低有效位开始排序。
  • MSD(Most Significant Digit):从最高有效位开始排序。

常见实现是 LSD 基数排序。

基数排序的步骤

以 LSD 基数排序为例,排序一个整数数组:

  1. 确定位数:确定数组中最大的数的位数,这将决定排序的次数。
  2. 按位排序:从最低有效位(个位)开始,依次对每一位进行稳定排序(通常使用计数排序或桶排序作为子过程)。排序结束后,下一位将包含前一位排序的结果。
  3. 重复过程:重复步骤2,直到所有位都排序完毕,最终数组有序。

基数排序的示例

假设要对一组三位数的整数数组 [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66] 进行排序。具体步骤如下:

  1. 按个位数排序:
java 复制代码
[170, 90, 802, 2, 24, 45, 75, 66]

(个位:0、0、2、2、4、5、5、6)

  1. 按十位数排序:
java 复制代码
[802, 2, 24, 45, 66, 170, 75, 90]

(十位:0、0、2、4、6、7、7、9)

  1. 按百位数排序:
java 复制代码
[2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802]

(百位:0、0、0、0、0、0、1、8)

Java 实现基数排序

java 复制代码
import java.util.Arrays;

public class RadixSort {

    // 获取数组中最大值的位数
    private static int getMax(int[] arr) {
        int max = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] > max) {
                max = arr[i];
            }
        }
        return max;
    }

    // 对数组arr的d位数进行计数排序
    private static void countingSort(int[] arr, int exp) {
        int n = arr.length;
        int[] output = new int[n]; // 用于存储排序结果
        int[] count = new int[10]; // 用于存储每个数字的频率

        // 计算各个数字出现的频率
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count[(arr[i] / exp) % 10]++;
        }

        // 计算各个位置的累计频率
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            count[i] += count[i - 1];
        }

        // 根据当前位数,将数字放到正确位置
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int index = (arr[i] / exp) % 10;
            output[count[index] - 1] = arr[i];
            count[index]--;
        }

        // 将结果复制回原数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = output[i];
        }
    }

    // 基数排序主函数
    public static void radixSort(int[] arr) {
        // 找到最大数,确定最高位数
        int max = getMax(arr);

        // 对每个数位进行计数排序,exp是对应位数(1 -> 个位,10 -> 十位,100 -> 百位)
        for (int exp = 1; max / exp > 0; exp *= 10) {
            countingSort(arr, exp);
        }
    }

    // 打印数组
    public static void printArray(int[] arr) {
        for (int value : arr) {
            System.out.print(value + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // 测试基数排序
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66};
        System.out.println("原始数组:");
        printArray(arr);

        radixSort(arr);

        System.out.println("排序后的数组:");
        printArray(arr);
    }
}

输出结果

go 复制代码
原始数组:
170 45 75 90 802 24 2 66 
排序后的数组:
2 24 45 66 75 90 170 802 

基数排序的时间和空间复杂度

时间复杂度:

基数排序的时间复杂度为 O(d * (n + k)),其中 n 是数组的长度,d 是数字中的最大位数,k 是每一位的取值范围(通常为10,即十进制数)。

在大多数情况下,d 是常数,所以基数排序的时间复杂度近似为 O(n)。

空间复杂度:

基数排序需要额外的空间来存储计数数组和输出数组,空间复杂度为 O(n + k)。

基数排序的优缺点

优点

  • 线性时间复杂度:基数排序在特定情况下可以达到线性时间复杂度 O(n),比许多比较排序算法(如快速排序)的平均时间复杂度 O(n log n) 更优。
  • 稳定性:基数排序是稳定的,前一位的排序结果在下一位排序中不会改变。

缺点

  • 空间复杂度较高:基数排序需要额外的空间来存储中间结果,空间复杂度较高,尤其在处理大数据时。
  • 限制应用场景:基数排序适合数值或字符串等可以按位操作的数据,不适合复杂数据类型。
  • 需要稳定的子排序算法:基数排序依赖于子排序算法(如计数排序)的稳定性。

基数排序的应用场景

  • 排序大规模的整数数据:尤其是位数不多且取值范围有限的情况。
  • 字符串排序:可以按字符位来排序,比如用于处理固定长度的字符串。
  • 图像处理中的颜色排序:基数排序可用于按色彩通道分量进行排序。

基数排序与其他排序的对比

  • 与比较排序的对比:与比较排序(如快速排序、归并排序)不同,基数排序不依赖于元素之间的比较,因此时间复杂度不受 O(n log n) 的下限约束。
  • 与桶排序和计数排序的关系:基数排序可以看作是基于桶排序和计数排序的一种多次应用。每次处理一位元素,利用计数排序的稳定性确保排序结果正确。

总结

基数排序是一种高效的线性时间排序算法,尤其适合对整数和字符串数据进行排序。尽管它的空间复杂度较高,应用场景较为特定,但在处理大量数据且位数不多的情况下,它是一种优于比较排序的选择。

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