离散化
在C++中，离散化通常指的是将连续的数值或数据转化为离散的形式。这在数值分析、信号处理、图像处理和机器学习等领域都非常常见。以下是一些离散化的基本概念和方法：
1.区间划分：
将连续变量的值域分成多个区间，每个区间对应一个离散的值。例如，将浮点数分成若干个区间，可以用区间的中点、边界或其他代表值来替代该区间内的所有值。
2.量化：
在信号处理中，量化是将连续信号转换为离散信号的过程。可以使用固定点数表示或浮点数表示。
3.
插值与样本选择：在离散化过程中，可以通过插值技术生成离散样本，或选择数据集中的特定样本点。
前缀和算法
二分查找
我们来看一道题可以帮助我们更好的理解这个算法
我们举个例子：
我们现在根据题来看，题中是进行了3次读操作3次写操作。
代码如下：
cpp
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 300010;
int n, m; // n 表示插入操作的数量，m 表示查询操作的数量
int a[N]; // 用于存储每个离散化后位置的值
int s[N]; // 前缀和数组
vector<int> alls; // 用于存储所有需要离散化的坐标
vector<pair<int, int>> add, query; // 分别存储插入操作和查询操作
// 二分查找，找到 x 在 alls 中对应的位置（离散化）
int find(int x)
{
int l = 0, r = alls.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (alls[mid] >= x) // 如果中间值大于等于 x，右边界缩小
r = mid;
else // 否则左边界增大
l = mid + 1;
}
return r + 1; // 返回离散化后的索引（从 1 开始）
}
int main()
{
// 读取插入操作和查询操作
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x, c;
cin >> x >> c;
alls.push_back(x); // 收集需要离散化的 x 坐标
add.push_back({x, c}); // 保存插入操作
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int l, r;
cin >> l >> r;
alls.push_back(l); // 收集查询范围的左端点
alls.push_back(r); // 收集查询范围的右端点
query.push_back({l, r}); // 保存查询操作
}
// 去重并排序，完成离散化准备
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有的坐标排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去重
/*unique 函数用于 移除相邻的重复元素，它并不真正删除元素，而是将重复的元素移动到容器的末尾部分，
函数返回一个迭代器，该迭代器指向新容器末尾的下一个位置（即去重后第一个"无效"元素的位置）。
前提条件：为了让 unique 正确工作，输入的容器必须是有序的，即相等的元素必须相邻。
因此，在调用 unique 之前，通常要先对容器进行排序（sort）。
alls.begin() 是 alls 数组的起始位置。
alls.end() 是 alls 数组的末尾位置（不包括最后一个元素）。
unique(alls.begin(), alls.end()) 将相邻的重复元素移动到容器末尾，
并返回一个新的迭代器 new_end，该迭代器指向去重后有效数据的末尾。*/
// 处理插入操作
for (auto item : add)
{
int x = find(item.first); // 找到 x 在离散化后的索引
a[x] += item.second; // 在离散化后的位置上加上对应的值
}
// 计算前缀和
for (int i = 1; i <= alls.size(); i++)
{
s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 通过累加前缀和数组得到区间的和
}
// 处理查询操作
for (auto item : query)
{
int l = find(item.first); // 找到 l 在离散化后的索引
int r = find(item.second); // 找到 r 在离散化后的索引
cout << s[r] - s[l - 1] << endl; // 输出区间 [l, r] 的和，并换行
}
return 0;
}