Leetcode 1039. 多边形三角形剖分的最低得分 枚举型区间dp C++实现

问题：Leetcode 1039. 多边形三角形剖分的最低得分

你有一个凸的 n 边形，其每个顶点都有一个整数值。给定一个整数数组 values ，其中 values[i] 是第 i 个顶点的值（即 顺时针顺序 ）。

假设将多边形 剖分 为**n - 2** 个三角形。对于每个三角形，该三角形的值是顶点标记的乘积 ，三角剖分的分数是进行三角剖分后所有 n - 2 个三角形的值之和。

返回 多边形进行三角剖分后可以得到的最低分 。

算法1：记忆化搜索

时间复杂度：O(n³) 。其中 n 为 values 的长度。动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × 单个状态的计算时间。本题中状态个数等于O(n²) ，单个状态的计算时间为O(n) ，因此时间复杂度为O(n³) 。
空间复杂度：O(n²)。保存多少状态，就需要多少空间。

代码：

class Solution {
public:
    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
        int n = values.size();
        vector<vector<int>> memo(n,vector<int>(n,-1));
        auto dfs = [&](auto &&dfs,int i,int j) -> int{
            if(i + 1 == j)  return 0;//只有两条边，不能构成三角形0
            int &res = memo[i][j];
            if(res != -1)   return res;//被计算过
            res = INT_MAX;
            for(int k = i + 1;k < j;k++)
                res = min(res,dfs(dfs,i,k) + dfs(dfs,k,j) + values[i] * values[j] * values[k]);
            return res;
        };
        return dfs(dfs,0,n - 1);
    }
};

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算法2：1:1 翻译成递推

把 dfs 改成 dp 数组，把递归改成循环就好了。相当于原来是用递归计算每个状态 ( i , j ) ，现在改用循环去计算每个状态 ( i , j ) 。

状态转移方程和递归完全一致 ：

需要注意循环的顺序：

由于i < k ，dp i 要能从dp k 转移过来，必须先计算出dp k ，所以i 要倒序枚举；

由于j > k ，dp i j 要能从 dp i k 转移过来，必须先计算出 dp i k ，所以 j要正序枚举。

时间复杂度：O(n³) 。其中 n 为values 的长度。动态规划的时间复杂度 = 状态个数 × 单个状态的计算时间。本题中状态个数等于 O(n²) ，单个状态的计算时间为O(n) ，因此时间复杂度为O(n³)。

空间复杂度：O(n²) 。有**O(n²)**个状态。

代码：

class Solution {
public:
    int minScoreTriangulation(vector<int>& values) {
        int n = values.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        for(int i = n - 3;i >= 0;i--){
            for(int j = i + 2;j < n;j++){
                dp[i][j] = INT_MAX;
                for(int k = i + 1;k < j;k++)
                    dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k][j] + values[i] * values[j] * values[k]);
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};