一、什么是决策树
决策树是一种模仿人类决策过程的机器学习算法，它通过学习简单的决策规则 来预测目标变量的值。决策树模型由节点和边组成，形成一个树状结构 。树的每个内部节点表示一个特征上的判断，每个边代表判断的结果，而每个叶子节点代表一个类别或决策结果。决策树既可以用于分类问题，也可以用于回归问题，且决策树也是具有极高可解释性（大众基本都能听懂）的模型。
二、决策树模型原理
决策树模型的原理基于递归地将数据集分割成越来越小的子集，直到满足特定条件，如达到某个纯度标准或子集中的样本数量小于预定阈值。每个分割决策都是基于特征的某个值来做出的，目的是最大化子集内部的同质性（即同一个类别的样本尽可能多）和不同子集之间的异质性（即不同类别的样本尽可能少）。以下是决策树模型构建的主要步骤和原理：
1、特征选择
在每个节点上，决策树会选择一个特征和该特征的一个阈值来分割数据。特征选择的目的是找到最好的分割点，可以使用信息增益 （Information Gain）等指标来衡量分割的效果。信息增益是衡量通过分割数据获得的信息量，它基于熵的概念，而熵是度量数据集不确定性的指标，信息增益高的分割可以更有效地减少不确定性（就好比你打算去买一台高性能的拍照手机，有两款手机供你挑选，一开始你并不确定到底要买哪一台，你打算从各个方面去比较两款手机，但这时候你发现了其中一款手机拍照像素只有可怜的200万，而另一款是2000万像素，显然从拍照性能这个特征入手极大程度减少了不确定性，相信你不会选择200万像素的拍照手机吧）。
熵的计算公式如下，是数据集中第i个类别的概率，m是类别的总数：
有了熵，我们可以进行信息增益的计算：
其中，S是父节点的数据集，A是特征，values(A)是特征A的所有可能值，是特征A值为v时的数据子集。
2、数据分割
使用选定的特征和阈值，数据集被分割成两个或多个子集。每个子集应该尽可能地只包含同一类别的样本。特征的选择目标是选出使数据集的熵（不确定性）减少最多的特征。除了信息增益之外，一般更常用的是信息增益率，即信息增益与特征熵的比值，信息增益率可以解决信息增益偏向于选择具有大量值的特征的问题（假设特征中有一个ID列，每个样本都有一个唯一的ID，那么信息增益就会把ID列作为最重要特征，实际上这是不合理的，模型泛化能力会变得极差，但信息增益率可以解决这个问题）。公式如下，其中H(A)是特征A的熵：
一旦选择了特征，下一步是确定该特征的阈值，以便根据该特征的值将数据集分割成子集。对于数值型特征，可能需要遍历特征的所有唯一值，以找到最佳的分割点。对于每个可能的阈值，将数据集分割成两个子集，并计算分割后子集的纯度（如信息增益或基尼不纯度）。选择使子集纯度最大化的阈值作为最终的分割点。
3、递归数据分割
对上一阶段分出来的每个子集重复特征选择和阈值选择的过程，直到满足停止条件（如达到最大树深度、节点中的样本数量小于预定阈值或无法进一步减少不纯度）。递归分割是指在每个子集上重复上述过程，直到满足停止条件，如达到最大树深度、节点中的样本数量小于预定阈值，或者无法进一步减少不纯度。
4、输出结果
决策树的每个叶子节点代表一个预测结果。对于分类问题，叶子节点通常是数据集中最常见的类别；对于回归问题，叶子节点通常是子集中目标变量的平均值或中位数。
三、模型损失函数
在实际应用中，决策树通常不需要显式地定义一个损失函数来进行训练，因为树的构建过程是通过递归地选择最佳分割点来完成的。
四、决策树模型类型
决策树模型有多种类型，每种类型都有其特点和适用场景。以下是一些教材中常见的决策树模型：
1、ID3
经典的决策树算法，使用信息增益作为特征选择的标准，但它倾向于选择具有更多值的特征，比如每个样本的唯一编号。
2、C4.5
C4.5是ID3的改进版，它使用信息增益率来选择特征，克服了ID3对特征值数量的偏好。
3、CART（Classification and Regression Trees）
CART既可以用于分类问题，也可以用于回归问题 。它使用基尼不纯度 作为分类问题的划分标准，对于回归问题则使用均方误差。基尼不纯度（Gini Impurity）是决策树算法中用于衡量一个节点内样本类别多样性的指标。它基于概率理论，用于评估数据集的纯净度或不纯度。基尼不纯度越低，表示数据集的纯净度越高，即数据集中的样本属于同一类别的可能性越大。公式如下：
其中，m是数据集中不同类别的总数，是数据集中第i个类别的样本所占的比例。基尼不纯度的值范围从0到1，当数据集中的所有样本都属于同一个类别时，基尼不纯度为0，表示纯净度最高；当数据集中的样本均匀分布在所有类别时，基尼不纯度接近1，表示不纯度最高。与信息增益相比，基尼不纯度对样本类别分布的不均匀性不太敏感，因此在某些情况下可能更受欢迎。此外，基尼不纯度的计算不需要对数运算，这在数值稳定性方面可能更有优势。
五、模型应用
一般我们会直接使用scikit-learn库中的决策树类进行建模，该模型基于CART构建，有多个可调节参数，调用起来方便快捷。
1、分类任务
python
# 导入必要的库
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.metrics import accuracy_score
# 加载鸢尾花数据集
iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target
# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建决策树分类器实例
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=42)
# 训练模型
clf.fit(X_train, y_train)
# 在测试集上进行预测
y_pred = clf.predict(X_test)
# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'Accuracy: {accuracy:.2f}')
# 打印决策树
from sklearn.tree import export_text
tree_rules = export_text(clf, feature_names=iris.feature_names)
print(tree_rules)2、回归任务
python
# 导入必要的库
from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 加载波士顿房价数据集
boston = load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
# 将数据集拆分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 创建决策树回归器实例
regressor = DecisionTreeRegressor(random_state=42)
# 训练模型
regressor.fit(X_train, y_train)
# 在测试集上进行预测
y_pred = regressor.predict(X_test)
# 计算均方误差（MSE）
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f'Mean Squared Error: {mse:.2f}')
# 打印决策树
from sklearn.tree import export_text
tree_rules = export_text(regressor, feature_names=boston.feature_names)
print(tree_rules)六、总结
在业务应用过程中，决策树也是常见的baseline之一。一方面，我们可以通过训练一个决策树模型并打印出特征重要性 从而决定各个特征的取舍，这也是特征工程的常见方法；另一方面，我们使用决策树作为baseline也可以将树结构打印出来 ，以便向上下游解释相关流程；最后，在一些低性能芯片部署模型的任务中，决策树甚至可以直接转化为规则写到芯片中，实现高效的边端部署。
1、优点
（1）易于理解和解释：决策树的结构清晰，可以可视化，容易解释模型的决策过程。
（2）不需要数据预处理：决策树可以处理数值型和类别型数据，不需要复杂的数据预处理，如特征缩放。
（3）能够处理各种数据类型：既可以处理数值型数据，也可以处理类别型数据。
（4）可以处理缺失数据：在构建决策树时，可以设计算法来处理缺失值。
2、缺点
（1）容易过拟合：决策树很容易生长出过于复杂的树，导致模型在训练数据上表现良好，但在未见过的数据上表现差，因此要注意max_depth等参数的设置。
（2）对噪声数据敏感：决策树对噪声数据和异常值比较敏感，可能会导致模型性能下降。
（3）可能需要大量的内存：对于大型数据集，构建和存储决策树可能需要大量的内存。