【洛谷】P4551 最长异或路径 的题解
题解
神奇的字典树咩呀qaq
看到异或,我们首先很容易想到 trie 树 还有 线性基。但是这题明显是字典树。
指定一个根 r o o t root root,用 t r i e [ u ] [ v ] trie[u][v] trie[u][v] 表示 u u u 和 v v v 之间的路径的边权异或和,那么 t r i e [ u ] [ v ] = t r i e [ r o o t ] [ u ] ⊕ t r i e [ r o o t ] [ v ] trie[u][v]=trie[root][u]\oplus trie[root][v] trie[u][v]=trie[root][u]⊕trie[root][v],因为 LCA 以上的部分异或两次抵消了。
那么,如果将所有 t r i e [ r o o t ] [ u ] trie[root][u] trie[root][u] 插入到一棵 trie 中,就可以对每个 t r i e [ r o o t ] [ u ] trie[root][u] trie[root][u] 快速求出和它异或和最大的 t r i e [ r o o t ] [ v ] trie[root][v] trie[root][v]:
从 trie 的根开始,如果能向和 T ( r o o t , u ) T(root, u) T(root,u) 的当前位不同的子树走,就向那边走,否则没有选择。
对于每一位进行贪心,如果这一位有一个与它不同的,即异或后是 1 1 1,那我们就顺着这条路往下走;否则就顺着原路往下走。
贪心的正确性:如果这么走,这一位为 1 1 1;如果不这么走,这一位就会为 0 0 0。而高位是需要优先尽量大的。由于高位大决定一切,所以我们贪心是对的。
代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
namespace fastIO {
inline int read() {
register int x = 0, f = 1;
register char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9') {
if(c == '-') f = -1;
c = getchar();
}
while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
return x * f;
}
inline void write(int x) {
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
if(x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
return;
}
}
using namespace fastIO;
int head[100005], nxt[100005 << 1], to[100005 << 1], weight[100005 << 1], cnt;
int n, dis[100005], ch[100005 << 5][2], tot = 1, ans;
void insert(int x) {
for(int i = 30, u = 1; i >= 0; i --) {
int c = ((x >> i) & 1);
if(!ch[u][c]) ch[u][c] = ++ tot;
u = ch[u][c];
}
}
void get(int x) {
int res = 0;
for(int i = 30, u = 1; i >= 0; i --) {
int c = ((x >> i) & 1);
if(ch[u][c ^ 1]) {
u = ch[u][c ^ 1];
res |= (1 << i);
}
else
u = ch[u][c];
}
ans = max(ans, res);
}
void add(int u, int v, int w) {
nxt[++ cnt] = head[u];
head[u] = cnt;
to[cnt] = v;
weight[cnt] = w;
}
void dfs(int u, int fa) {
insert(dis[u]);
get(dis[u]);
for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
int v = to[i];
if(v == fa) continue;
dis[v] = dis[u] ^ weight[i];
dfs(v, u);
}
}
int main() {
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
n = read();
for(int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v, w;
u = read(), v = read(), w = read();
add(u, v, w);
add(v, u, w);
}
dfs(1, 0);
write(ans), putchar('\n');
return 0;
}