决定系数 （Coefficient of Determination），通常用 R 2 R^2 R2 表示，是一种衡量回归模型拟合效果的统计量。它表示模型解释自变量和因变量之间变异程度的比例。决定系数的值在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1] 之间，值越接近 1，模型的拟合效果越好。
决定系数的计算公式：
R 2 = 1 − SSR SST R^2 = 1 - \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} R2=1−SSTSSR
其中：
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SSR（残差平方和） ：模型的预测值与真实值之间误差的平方和，即：
SSR = ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \text{SSR} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 SSR=i=1∑n(yi−y^i)2其中， y i y_i yi 是实际值， y ^ i \hat{y}_i y^i 是预测值。
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SST（总平方和） ：实际值与其平均值之间的差异的平方和，即：
SST = ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 \text{SST} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 SST=i=1∑n(yi−yˉ)2其中， y ˉ \bar{y} yˉ 是实际值的平均值。
决定系数的解释：
- R² = 1：表示模型完美拟合数据，即所有实际值都被模型准确预测。
- R² = 0：表示模型的预测效果与简单的平均值预测效果相同。即，模型没有解释因变量的变异。
- R² < 0 ：当模型的预测值比平均值预测得更差时， R 2 R^2 R2 可以为负数，这表示模型没有任何解释能力。
决定系数的意义：
- 决定系数可以用来衡量模型对数据的解释力。较高的 R 2 R^2 R2 表明模型较好地解释了数据中的变异，但它不能直接说明模型是否是最优模型，或是否适合所有情况。
- R 2 R^2 R2 仅衡量线性关系的好坏，对于非线性回归模型，可能需要使用其他性能度量指标（如调整后的 R 2 R^2 R2、AIC、BIC 等）。
示例：如何解释 R 2 R^2 R2
假设在一个简单的线性回归中， R 2 = 0.85 R^2 = 0.85 R2=0.85，这意味着模型可以解释 85% 的数据变异，而剩余的 15% 可能是由于其他未被模型捕捉的因素导致的误差。
总结来说，决定系数 R 2 R^2 R2 是用于评估回归模型性能的重要指标，特别是衡量模型对数据中变异的解释能力。