线性代数(持续更新)

一.矩阵及其计算

1.矩阵的概念

矩阵就是一个数表

元素全是0,是零矩阵,用0来表示

当m=n时,称为n阶矩阵(方阵)

只有一行的叫行矩阵,只有一列的叫列矩阵

只有对角线有元素的叫做对角矩阵,用diag(a11,a22,.... ann) 表示

对角元全是1的对角矩阵叫单位矩阵

对角元全是k的对角矩阵叫数量矩阵

上三角矩阵

下三角矩阵

线性方程组与矩阵的对应关系:

2.矩阵的线性运算

同型矩阵:两个矩阵的行数和列数分别相等

矩阵相等:同型矩阵对应元素相等

矩阵加法:同型矩阵对应元素相加

负矩阵:对应元素相反

矩阵减法:对应元素相减

数乘:矩阵的每个值都×这个数

3.矩阵乘法

矩阵A有多少列,矩阵B要有多少行

性质:矩阵乘法不可交换

AB=0,不能推出A=0或B=0(因此,AB=AC,推不出B = C)

任何矩阵和单位矩阵的乘法是可以交换的 IA = A = AI

4.矩阵乘法的运算规律

(AB)C = A(BC) k(AB) = kAB = A(kB) A(B+C) = AB + AC

(B+C)A = BA + CA

例题:证明(AB)C = A(BC)

首先证明同型,然后证明相等

5.方阵的幂与多项式

若A是n阶方阵,k是正整数

注意:

只有在AB = BA的情况下,才会成立

有f(A)= g(A),但是一般f(A)g(B) ≠ g(B)f(A)

6.矩阵的转置

A转置的转置等于A

转置的相加等于相加的转置

7.对称矩阵和反对称矩阵

如果A的转置等于A本身,A就是对称矩阵

A的转置等于-A,A就是反对称矩阵(反对称矩阵的对角元是0)

数乘对称矩阵仍为对称矩阵,同阶对称矩阵和仍为对称矩阵

只有在AB = BA时,同阶对称矩阵的乘积才是对称矩阵

如果A与A转置的乘积为0,则A=0

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