二项分布（Binomial Distribution） 是概率论和统计学中描述独立重复的伯努利试验 中成功次数的离散概率分布。它是基于多次 独立的伯努利试验的扩展，用于描述在 n n n 次试验中发生成功的次数。
1. 二项分布的定义
二项分布用于描述在 n n n 次独立的伯努利试验中，成功发生的次数 。每次伯努利试验只有两种结果------成功 或失败 ，成功的概率为 p p p，失败的概率为 1 − p 1 - p 1−p。
概率质量函数（PMF）
如果随机变量 X X X 表示 n n n 次独立的伯努利试验中成功的次数，且成功的概率为 p p p，那么 X X X 服从二项分布，记为：
X ∼ Bin ( n , p ) X \sim \text{Bin}(n, p) X∼Bin(n,p)
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k
其中：
- X X X 是成功的次数。
- n n n 是试验次数（即进行的独立伯努利试验的总次数）。
- p p p 是每次试验成功的概率。
- ( n k ) \binom{n}{k} (kn) 是组合数 ，表示从 n n n 次试验中选择 k k k 次成功的方式数，公式为：
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} (kn)=k!(n−k)!n!
2. 二项分布的性质
a. 期望值（Expectation）
二项分布的期望值表示在 n n n 次试验中成功的平均次数。二项分布的期望值 E ( X ) E(X) E(X) 为：
E ( X ) = n p E(X) = np E(X)=np
这意味着，成功的平均次数是试验次数 n n n 和单次成功概率 p p p 的乘积。例如，投掷硬币 10 次，如果每次正面的概率为 0.5，则出现正面的期望次数是 10 × 0.5 = 5 10 \times 0.5 = 5 10×0.5=5。
b. 方差（Variance）
方差描述成功次数的波动性或离散程度。二项分布的方差 V a r ( X ) Var(X) Var(X) 为：
V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) Var(X) = np(1 - p) Var(X)=np(1−p)
方差表明，成功次数的波动性取决于试验次数 n n n、成功概率 p p p 和失败概率 1 − p 1 - p 1−p。
c. 标准差（Standard Deviation）
标准差是方差的平方根，用于衡量成功次数的波动程度：
σ ( X ) = n p ( 1 − p ) \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)} σ(X)=np(1−p)
d. 二项分布的形状
- 当 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5 时，二项分布是对称的，成功和失败的概率相等。此时，分布的平均值位于 n / 2 n/2 n/2 附近。
- 当 p > 0.5 p > 0.5 p>0.5 时，分布向右偏斜，成功的次数更可能接近 n n n。
- 当 p < 0.5 p < 0.5 p<0.5 时，分布向左偏斜，成功的次数更可能接近 0。
图例说明如下：
这张图展示了三种不同参数设置下的二项分布，其中横坐标表示随机变量（成功次数），纵坐标表示每个随机变量对应的概率（即发生特定成功次数的概率）。
图片来源：https://medium.com/@abhishekjainindore24/all-about-binomial-distribution-ba476ea4642f
图中展示了三个不同的二项分布：
-
绿色柱形图 ： p = 0.5 p = 0.5 p=0.5 且 n = 20 n = 20 n=20，表示进行了 20 次试验，每次成功的概率为 0.5。分布呈对称形状，均值大约在 10 次成功附近（ n × p = 20 × 0.5 = 10 n \times p = 20 \times 0.5 = 10 n×p=20×0.5=10）。
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棕色柱形图 ： p = 0.7 p = 0.7 p=0.7 且 n = 20 n = 20 n=20，表示进行了 20 次试验，每次成功的概率为 0.7。分布向右偏斜，表示成功次数更多，均值接近 14 次（ n × p = 20 × 0.7 = 14 n \times p = 20 \times 0.7 = 14 n×p=20×0.7=14）。
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紫色柱形图 ： p = 0.5 p = 0.5 p=0.5 且 n = 40 n = 40 n=40，表示进行了 40 次试验，每次成功的概率为 0.5。分布较宽且更加集中，均值大约在 20 次成功附近（ n × p = 40 × 0.5 = 20 n \times p = 40 \times 0.5 = 20 n×p=40×0.5=20）。
总结：
- n n n（试验次数） ：随着 n n n 增大，分布变得更加集中和对称。
- p p p（成功概率） ：随着 p p p 增大，分布向右偏斜，成功次数的期望值增加。
3. 二项分布的例子
二项分布适用于任何重复的独立伯努利试验 ，即每次试验结果只可能是成功或失败，并且每次试验的成功概率 p p p 是相同的。
例子1：投掷硬币
假设我们进行 10 次独立的投掷硬币实验，每次投掷硬币的正面朝上的概率为 p = 0.5 p = 0.5 p=0.5。令 X X X 表示正面朝上的次数，则 X ∼ Bin ( 10 , 0.5 ) X \sim \text{Bin}(10, 0.5) X∼Bin(10,0.5)。
计算恰好有 6 次正面朝上的概率：
P ( X = 6 ) = ( 10 6 ) ( 0.5 ) 6 ( 0.5 ) 4 = 10 ! 6 ! 4 ! ( 0.5 ) 10 = 0.205 P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} = 0.205 P(X=6)=(610)(0.5)6(0.5)4=6!4!10!(0.5)10=0.205
即，在 10 次投掷硬币中，有 6 次正面朝上的概率为 0.205。
例子2：考试通过率
假设某场考试的通过率为 80%，某班有 10 个学生参加考试。我们可以用二项分布来描述通过考试的学生人数。令 X X X 表示通过考试的学生人数，则 X ∼ Bin ( 10 , 0.8 ) X \sim \text{Bin}(10, 0.8) X∼Bin(10,0.8)。
计算恰好有 8 个学生通过考试的概率：
P ( X = 8 ) = ( 10 8 ) ( 0.8 ) 8 ( 0.2 ) 2 = 0.302 P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.8)^8 (0.2)^2 = 0.302 P(X=8)=(810)(0.8)8(0.2)2=0.302
即，恰好有 8 个学生通过考试的概率为 0.302。
4. 二项分布的推导
二项分布是通过 n n n 次独立的伯努利试验推导出来的，每次试验的结果是独立的成功或失败。
a. 组合数的解释
( n k ) \binom{n}{k} (kn) 代表从 n n n 次试验中选择 k k k 次成功的方式数。组合数的公式为：
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} (kn)=k!(n−k)!n!
它表示有多少种方式可以从 n n n 次试验中选择 k k k 次成功。
b. 成功和失败的概率
成功发生 k k k 次的概率为 p k p^k pk，而失败发生 n − k n-k n−k 次的概率为 ( 1 − p ) n − k (1-p)^{n-k} (1−p)n−k。二项分布的概率质量函数是这三部分的乘积：
P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k
这就是二项分布的公式，表示在 n n n 次试验中恰好有 k k k 次成功的概率。
5. 二项分布与其他分布的关系
a. 伯努利分布
二项分布是伯努利分布的推广。伯努利分布表示单次伯努利试验的成功或失败，而二项分布表示多次独立的伯努利试验中的成功次数。
- 如果 n = 1 n = 1 n=1，则二项分布退化为伯努利分布。
b. 泊松分布
当 n n n 很大而 p p p 很小时，且 n ⋅ p = λ n \cdot p = \lambda n⋅p=λ 是常数时，二项分布趋近于泊松分布。这种情况下，二项分布可以用来近似泊松分布，描述稀有事件的发生次数。
c. 正态分布
当试验次数 n n n 很大时，二项分布可以近似为正态分布。这是因为根据中心极限定理 ，当 n n n 较大时，二项分布的形状逐渐趋于对称，并且接近正态分布。
- 当 n p > 5 np > 5 np>5 且 n ( 1 − p ) > 5 n(1 - p) > 5 n(1−p)>5 时，二项分布可以用正态分布进行近似。
6. 二项分布的实际应用
a. 质量控制
在质量控制中，二项分布用于描述生产线中合格产品和不合格产品的数量。例如，从生产线上随机抽取 100 个产品，检查其中有多少个合格产品，这可以用二项分布来建模。
b. 市场营销
二项分布用于建模市场营销中的成功概率。例如，在发送电子邮件广告时，可以用二项分布来计算有多少人会响应广告。
c. 生物统计
在生物统计学中，二项分布用于建模二元结果（如存活/死亡、健康/疾病等）的实验。例如，进行 100 次药物实验，记录有多少病人康复。
7. 总结
二项分布 是描述多次独立伯努利试验中成功次数的离散概率分布。它通过组合数计算成功次数的方式数，并将成功和失败的概率组合在一起，得到在 n n n 次试验中成功 k k k 次的概率。二项分布广泛应用于统计学、质量控制、市场营销、医学实验等领域，用于建模多次重复试验中某个事件发生的次数。