统计学

机器学习概率论与统计学--(13)线性回归线性回归是统计学和机器学习中最基础、最常用的预测模型。它研究一个或多个自变量（预测变量）与一个连续因变量之间的线性关系。本讲将深入探讨线性回归的模型假设、参数估计（最小二乘法与最大似然估计的等价性）、显著性检验（t检验与F检验）、模型诊断（残差分析、异常值检测）、拟合优度（R²与调整R²）以及多重共线性的识别与处理。

机器学习概率论与统计学--(12)假设检验假设检验是统计推断的另一大支柱。它提供了一套规范的流程，用于根据样本数据对关于总体的某个陈述（假设）做出拒绝或不拒绝的决策。本讲将从基本概念出发，介绍假设检验的框架、两类错误、常见参数检验方法（t检验、方差分析）以及非参数检验（卡方检验），最后讨论p值的局限。

机器学习概率论与统计学--(10)统计学：参数估计②在上一讲中，我们学习了点估计的两种常用方法——矩估计和最大似然估计。然而，对于一个未知参数，往往有多种可能的估计量。那么，如何评价一个估计量的优劣？当点估计给出一个数值后，我们又如何衡量这个估计的精度？本讲将首先介绍估计量的三个核心评价准则：无偏性、有效性和一致性；然后引入区间估计，讲解置信区间的概念及其构造方法，重点包括一个正态总体均值的置信区间、两个正态总体均值差的置信区间以及比例 p p p 的置信区间。

机器学习概率论与统计学--(8)概率论：数字特征数字特征是用数值简洁地描述随机变量分布的重要属性。本讲将系统讲解期望、方差、协方差与相关系数，以及高阶矩、偏度和峰度。这些概念是概率论与统计学的核心，也是机器学习中模型评估与推断的基础。

机器学习概率论与统计学--(9)统计学：参数估计参数估计是统计推断的核心内容。当我们面对一个总体，知道其分布类型（例如正态分布、二项分布等），但其中的某些参数（如均值、方差）未知时，就需要利用样本数据对这些参数进行估计。本讲将系统讲解点估计的基本概念，并详细介绍两种最常用的点估计方法：矩估计和最大似然估计。

机器学习概率论与统计学--(6)概率论：连续分布连续分布描述的是在某个区间（或整个实数轴）上取值的随机变量，其概率由概率密度函数（PDF）的积分给出。本讲将深入剖析六个核心连续分布：均匀分布、正态分布、指数分布、拉普拉斯分布、卡方分布、t分布和F分布。我们将从定义出发，推导期望与方差，阐明重要性质，并通过丰富的实例展示它们在实际问题中的应用。

机器学习概率论与统计学--(7)概率论：多维随机变量现实中的随机现象往往涉及多个变量，例如身高与体重、温度与湿度、考试成绩与学习时间。多维随机变量就是用来同时描述这些变量的数学工具。本讲将系统介绍多维随机变量的核心概念：联合分布、边缘分布、条件分布，以及刻画变量之间关系的协方差、相关系数和协方差矩阵。

机器学习概率论与统计学--(5)概率论：离散分布离散分布是概率论中描述“计数”或“分类”现象的数学工具。本讲我们将深入剖析四个最重要的离散分布家族：伯努利分布、二项分布、泊松分布以及类别分布与多项式分布。我们将从定义出发，推导概率质量函数（PMF），计算期望与方差，并通过丰富的实例展示它们在实际问题中的应用。

机器学习概率论与统计学--(3)概率论：随机变量欢迎来到概率论的核心概念——随机变量。在之前的讲解中，我们学习了样本空间和事件，但很多时候我们需要将随机试验的结果“数字化”，以便进行数学运算。随机变量正是为此而生。我们将从随机变量的定义开始，区分离散与连续两类，并深入理解分布函数这个统一描述工具。

机器学习概率论与统计学--(2)统计学基础欢迎来到统计学的基础世界！如果说概率论是研究“已知总体规律，推测随机现象”的学问，那么统计学则是它的“逆问题”：通过分析有限的数据样本，来推断总体的特征和规律。

机器学习概率论与统计学--(1)概率论基础欢迎来到概率论的世界！无论你是刚接触这门学科，还是想巩固基础，这篇文章都会用最直观的方式带你理解核心概念。我们将从最基础的样本空间开始，一步步深入到贝叶斯定理和机器学习中的应用。准备好了吗？让我们开始吧！

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06 Python 数据分析入门：集中趋势与离散程度适合人群：Python 初学者 / 数据分析入门 / 统计学基础学习者 / 教学案例分享在做数据分析时，我们经常会遇到这样的问题：

一维概率分布可视化实践：基于 Python 的理论曲线与样本图对照概率分布是概率论、数理统计、数据分析与机器学习中的基础内容。学习分布时，除了掌握定义和公式，更重要的是理解分布的形状、参数变化带来的影响，以及随机样本与理论分布之间的关系。

高级概率知识1：大数定律高维数据变得非常重要。然而，高维空间与我们熟悉的二维和三维空间有很大不同。在d维空间中随机生成n个点，每个坐标都是均值为零、方差为1的高斯分布。当d足够大时，所有点对之间的距离以高概率基本上相同。此外，d维单位球（即所有满足|x|≤1的点x的集合）的体积随着维度的增加而趋近于零。高维单位球的体积集中在它的表面附近，也集中在它的赤道附近。这些性质具有重要的影响，我们将对此进行考虑。

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R语言的贝叶斯网络模型的实践在现代的生态、环境以及地学研究中，变量和变量间的因果关系推断占据了非常重要的地位。在实践中，变量间的因果关系研究往往求助于昂贵的实验，但所得结果又经常与天然环境中的实际因果联系相差甚远。统计学方法是研究天然环境中变量间关系的好方法，但常见的统计学方法往往回答的是变量间的相关关系。相关关系是通往因果关系的第一步，但决不是其最终的目的。贝叶斯网络是一种结合图论与统计学理论提出的新型模型。贝叶斯网络不但能够统合已有的各种统计学方法，如混合回归模型，LASSO,自回归模型，隐马模型等等；而且在很大程度上能够弥补统

C 语言实现独立样本 t 检验和配对样本 t 检验源代码链接：https://github.com/Illusionna/tiny-stats/blob/main/t-test.c

CS创新实验室

正态分布的深入学习：从数学发现到自然法则的演变正态分布，又称高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要、最广泛使用的概率分布之一。它不仅在数学和物理学中占据核心地位，也在社会科学、工程技术和生物医学等领域展现出惊人的普遍性。这一分布的发现历程跨越了近两个世纪，从法国数学家棣莫弗在1733年对二项分布的渐近公式研究，到德国数学家高斯在1809年将其应用于天文学误差分析，再到拉普拉斯在1810年将中心极限定理与误差理论结合，最终形成了完整的理论体系。正态分布之所以如此普遍，是因为它满足了中心极限定理的核心条件——当一个随机变量是由大量微小独立随机因素的叠加结

随机变量在代数运算中的误差传播（2/2）前文链接：随机变量在代数运算中的误差传播（1/2）在前文中，我们讲述支配不确定性如何在不同运算中传播的数学规则，并探索量化不确定性的方法。但仅仅考虑随机变量之间相互独立的情形，然而，假如不独立，将有什么变化？本文将继续探讨相关议题。

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Basic statistics - 12. One-way ANOVA BasicsOne way refers that it involves only one factor, for example a two-way ANOVA involves two factors.

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