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提示
有 n
位乘客即将登机,飞机正好有 n
个座位。第一位乘客的票丢了,他随便选了一个座位坐下。
剩下的乘客将会:
-
如果他们自己的座位还空着,就坐到自己的座位上,
-
当他们自己的座位被占用时,随机选择其他座位
第 n
位乘客坐在自己的座位上的概率是多少?
思路:
本题需要注意的一点是乘客有先后顺序,第i个乘客入座之前,前i-1个乘客必须已经入座。
那么,对于第一个乘客,有1/n概率坐在自己的位置,有1/n坐在n号位置,其余情况在[2,n-1]中随意入座,当坐在自己位置时,所有乘客顺序入座,则只有一种情况,此时必定可以n坐在n号座位。当坐在n号座位时,一定无法满足n坐在自己座位,概率为0。当处于i位置时,则二号乘客到i-1号乘客,都可以顺序入座,i号乘客要在1号座位或者i+1到n号座位中入座,此时有n-i+1个乘客,n-i+1个座位,乘客编号是i.i+1,i+2,.....n,座位编号是1,i+1,i+2,....n.可以发现,只有一个编号和乘客是不对应的,但是此时把座位1编号看成i不会有任何影响,因为能对结果产生影响的是乘客坐的相对位置,而不是单纯的编号对应乘客。比如,如果i号乘客坐在1号位置,就是正常一一对应。如果i号乘客坐在n位置,就是失败,如果坐在j位置,就是I+1号乘客到j-1顺序入座,然后继续判断,判断逻辑是一致的,因此是没有影响的。
则f(n)=1/n+1/n*f(n-i+1)(i从2到n-1).
f(n-1)=1/(n-1)+1/(n-1)*f(n-1-i+1)(i从2到n-2).
可以经过式子化简得出f(n)=f(n-1),因此n=1为1,n!=1为0.5.
个人感觉主要难点就在于理解i号乘客坐在坐在1位置可以想象成正常情况下坐在i位置。
class Solution {
public:
double f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
return 0.5;
}
double nthPersonGetsNthSeat(int n) {
return f(n);
}
};