先说一下我为什么要写这篇文章。
"二分" 查找 or "二分" 答案的思想大家想必都知道吧（如果不懂，可以看一下我之前写的一篇文章）。
可是呢？思想都会，做题的时候，就懵圈了。
这个题竟然考的是二分吗？ 我板子用的对着呢，为什么答案不对呢？我的边界该怎么确定呢？等等。。。
我想大家或多或少都有疑惑吧，那么接下来我谈一谈我对"二分"的理解以及自己的解题技巧。
首先，先引入一个题目【数的范围】。
问题引入
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式:
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式:
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围:
1 ≤ n ≤ 100000 {1≤n≤100000} 1≤n≤100000
1 ≤ q ≤ 10000 {1≤q≤10000} 1≤q≤10000
1 ≤ k ≤ 10000 {1≤k≤10000} 1≤k≤10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
这道题目是二分的一个经典题目，我们使用二分的板子就可以解决。下面是我的代码。
c++
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
int n, q;
int num[N];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> n >> q;
for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> num[i];
while(q --) {
int target;
cin >> target;
int l = 0, r = n - 1;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(num[mid] < target) l = mid + 1;
else r = mid;
}
if (num[l] != target) {
cout << -1 << " " << -1 << endl;
} else {
cout << l << " ";
r = n - 1;
while(l < r) {
int mid = (l + r + 1) >> 1;
if(num[mid] > target) r = mid - 1;
else l = mid;
}
cout << l << endl;
}
}
return 0;
}二分重点
以下是"二分"问题的易错点&难点：
- 搜索范围的左右边界如何确定。
left = 0还是left = -1;right = num.length - 1还是right = num.length.
- 搜索停止的条件。
while(left < rigth)还是while(left <= right).
- 中间值能否加入到左/右边界中。
right = mid还是right = mid - 1;left = mid还是left = mid + 1;
- 中间值
mid应该如何计算。mid = left + (right - left) / 2还是mid = left + (right - left + 1) / 2.
以下重难点的解释，我全用数的范围这道题给大家讲解。
左右边界的确定
情况一
假设我们要寻找大于target的最小值的索引，但是target比原数组num中的所有数据都要大，那么在[0,num.length - 1]的索引范围内就无法找到满足条件的索引，此时就要扩大右边界 ，也就是令rigth = num.length，此时目标索引就是num.length。而左边界不用动（这里我解释一下，假如target比原数组中的所有数都要小，这个时候大于target的最小值的目标索引就是索引0)。情况一的搜索区间就是[0, num.length]。
cpp
target = 87
num[] = {12, 17, 45, 56, 66, 68, 69, 72}
right = 0, left = num.length因为target要比num中的所有元素都要大，所以应该扩大右边界 ，令rigth = num.length。
此时搜索区间为[0, num.length]。
情况二
假设我们要寻找小于target的最大值的索引，但是target比原数组num中的所有元素都要小，那么在[0,num.length - 1]的索引范围内就无法找到满足条件的索引，此时就要扩大左边界 ，也就是令rigth = -1，此时目标索引就是-1。而右边界不用动（这里我解释一下，假如target比原数组中的所有数都要大，这时候小于target的最大值的目标索引就是索引 num.length - 1）。情况二的搜索区间就是[-1, num.length - 1]。
cpp
target = 9
num[] = {12, 17, 45, 56, 66, 68, 69, 72}
right = 0, left = num.length因为target要比num中的所有元素都要小，所以应该扩大左边界 ，令left = -1。
此时搜索区间为[-1, num.length - 1]。
情况三
假设我们要寻找等于target的索引（一般target都存在），此时搜索区间就是[0, num.length - 1]。如果题目中出现搜索不到的情况，直接返回题目中要求输出的结果即可。
搜索停止条件
情况一
假设在区间[left, right]之间一定有目标索引，那么我们可以令循环截止条件为while(left < right)。当left == right 的时候，目标索引就是left或者rigth。
情况二
假设在区间[left, right]之间不一定有目标索引，那么我们可以令循环截止条件为while(left <= right)。
中间值的归属
对于中间值的归属问题，我这里举具体的例子给大家讲解。
情况一
假设我们要搜索的是 大于9 的最小值索引，如果 num[mid] <= 9，那么这个 mid 一定不是目标索引，此时应该更新左边界 left = mid + 1；如果 num[mid] > 9，那么此时的 mid 有可能是目标索引，此时应该更新右边界rigth = mid。
情况二
假设我们要搜索的是 小于9 的最大值索引，如果 num[mid] >= 9，那么这个 mid 一定不是目标索引，此时应该更新右边界 rigth = mid - 1；如果 num[mid] < 9，那么此时的 mid 有可能是目标索引，此时应该更新左边界left = mid。
情况三
假设我们要搜索的是 等于9 的索引，如果 num[mid] > 9，那么这个 mid 一定不是目标索引，此时更新右边界 right = mid - 1；如果 num[mid] < 9，那么这个 mid 也一定不是目标索引，此时更新左边界 right = mid + 1；如果 num[mid] = 9，那么我们就找到正确答案了。
中间值计算
大家可以看到，之前给大家两种计算中间值的公式分别为：
- 公式一：
mid = left + (right - left) / 2，取的是靠近左边的中位数。 - 公式二：
mid = left + (right - left + 1) / 2，取的是靠近右边的中位数。
这里，我先给大家一个比较好记的技巧如果过程中有令mid = left，就用公式二；否则，就用公式一。
接下来说一下为什么要 +1 呢？
假设出现了一种情况left + 1 = right并且mid = left的情况，之后在求 mid的时候，我们使用公式一更新mid，此时mid始终为左边界left，程序就会陷入死循环。所以为了避免这种情况的发生，当出现mid = left的时候，必须使用公式二。
而对于，right = mid这个条件则不用担心，对于C++就是向下取整。
总结
对于以上的二分重点介绍，如果按照以上步骤去考虑问题的话，基本上不会出错。
这里，我给出大家，我自己的解题步骤：
- 首先审题，判断题目要二分的元素（一般是题目直接要求的答案 or 题目有个固定量，根据固定量而定）；
- 思考边界该怎么选，是否需要更新左右边界的取值；
- 判断在题目的范围内是否一定有答案值，确定循环终止的条件（同时确定check函数的编写）；
- 暂时使用
公式一，如果有mid = left，则更换为公式二。