关于复变函数解析与可导

一般情况下，有lm(z)或|z|存在的函数不可导，但是也有例外，比如 z 2 l m ( z ) z^2 lm(z) z2lm(z)，在z=0处 lim ⁡ Δ z → 0 Δ z 2 l m ( Δ z ) Δ z = lim ⁡ Δ z → 0 Δ z l m ( Δ z ) = 0 \underset{\varDelta z\rightarrow 0}{\lim}\frac{\varDelta z^2lm\left( \varDelta z \right)}{\varDelta z}=\underset{\varDelta z\rightarrow 0}{\lim}\varDelta zlm\left( \varDelta z \right) =0 Δz→0limΔzΔz2lm(Δz)=Δz→0limΔzlm(Δz)=0

因此在z=0可导

再比如 ∣ z ∣ 2 \left| z \right|^2 ∣z∣2，同样在z=0可导

一般看f(z)在定义域D内解析只看是否满足柯西-黎曼方程，即 ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v两个式子同时成立，但是还要满足u和v在D内可微。