C++ 算法学习——1.6 差分算法与二维差分算法

1. 一维差分算法概述：

   • 差分算法是一种用于计算序列中相邻元素之间差值的技术。
   • 在C++中，STL（标准模板库）提供了std::adjacent_difference函数来实现差分算法。

2. std::adjacent_difference函数：

   • std::adjacent_difference函数位于头文件<numeric>中。
   • 语法：std::adjacent_difference(first, last, result)。
     • first和last是定义了输入序列范围的迭代器。
     • res``ult是存储结果的目标序列的起始位置

一维差分数组在处理连续序列中的区间更新和查询操作时非常有用。它可以帮助在常数时间复杂度内完成区间元素的增减操作，并支持常数时间复杂度的区间查询操作。以下是一维差分数组的一些主要用途和优点：

1. 区间更新 ：对于原始数组中 [l, r] 区间内的元素增加 val，只需更新差分数组 diff 中 diff[l] += val 和 diff[r+1] -= val，然后再根据差分数组计算更新后的原始数组。

2. 查询 ：原始数组中位置为L的元素等于差分数组中 ++[L]前所有元素的和++ 。

3. 应用领域：差分数组在处理数组序列的区间操作中广泛应用，比如处理频繁的区间修改、查询问题。

代码示例（构建）：

std::vector<int> differences(nums.size());

    std::adjacent_difference(nums.begin(), nums.end(), differences.begin());

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1. 二维差分算法概述：

   • 二维差分算法是一种用于计算二维数组中差分的技术。
   • 通过预处理数组，可以在常数时间内计算子矩阵的增减值，而不必每次都一一计算。

2. 实现方式：

   • 我们可以使用差分数组diff表示相邻元素之间的差值关系。二维差分数组diff的构建规则如下：

• diff[i][j] = matrix[i][j] - matrix[i-1][j] - matrix[i][j-1] + matrix[i-1][j-1]

代码示例(构建)：

int **computeDifferenceArray(int **matrix, int rows, int cols) {
    int **diff = new int*[rows];
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        diff[i] = new int[cols]();
    }

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            diff[i][j] = matrix[i][j]; // 复制原始数组的值

            // 处理边界情况
            if (i > 0) diff[i][j] -= matrix[i - 1][j]; // 上方元素
            if (j > 0) diff[i][j] -= matrix[i][j - 1]; // 左方元素
            if (i > 0 && j > 0) diff[i][j] += matrix[i - 1][j - 1]; // 左上方元素
        }
    }

    return diff;
}

代码示例（计算）：//如果对原数组(x1,y1)到(x2,y2)的矩形区域整体加上a.

void updateDiffArray(int** &diff, int x1, int y1, int x2, int y2, int a, int rows, int cols) {
    // Check if the indices are within bounds
    if (x1 >= 0 && x1 < rows && y1 >= 0 && y1 < cols &&
        x2 >= 0 && x2 < rows && y2 >= 0 && y2 < cols) {
        diff[x1][y1] += a;
        if (x2 + 1 < rows && y1 < cols) diff[x2 + 1][y1] -= a;
        if (x1 < rows && y2 + 1 < cols) diff[x1][y2 + 1] -= a;
        if (x2 + 1 < rows && y2 + 1 < cols) diff[x2 + 1][y2 + 1] += a;
    } 
}

最后通过二维前缀和还原到原数组即可。

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P1. 洛谷p2367语文成绩

#include<iostream>
#include<numeric>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
long long ans=0;
long long result=10000;

int main()
{
    int n,q;cin>>n>>q;
    vector<int> nums,differs;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;cin>>a;
        nums.push_back(a);
    }
    differs.resize(n);//很重要，不然调用函数会访问到未分配的内存，发生越界错误
    adjacent_difference(nums.begin(),nums.end(),differs.begin());
    //for(int i=0;i<n;i++) cout<<differs[i]<<" ";
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int left,right,value;
        cin>>left>>right>>value;
        differs[left-1]+=value;
        differs[right]-=value;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans+=differs[i];
        result=fmin(ans,result);
    }
    cout<<result;
    return 0;
}

---

P2. 洛谷p3397地毯

#include<iostream>
using namespace std;

int **computeDifferenceArray(int **matrix, int rows, int cols) {
    int **diff = new int*[rows];
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        diff[i] = new int[cols]();
    }

    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            diff[i][j] = matrix[i][j]; // 复制原始数组的值

            // 处理边界情况
            if (i > 0) diff[i][j] -= matrix[i - 1][j]; // 上方元素
            if (j > 0) diff[i][j] -= matrix[i][j - 1]; // 左方元素
            if (i > 0 && j > 0) diff[i][j] += matrix[i - 1][j - 1]; // 左上方元素
        }
    }

    return diff;
}

void updateDiffArray(int** &diff, int x1, int y1, int x2, int y2, int a, int rows, int cols) {
    // Check if the indices are within bounds
    if (x1 >= 0 && x1 < rows && y1 >= 0 && y1 < cols &&
        x2 >= 0 && x2 < rows && y2 >= 0 && y2 < cols) {
        diff[x1][y1] += a;
        if (x2 + 1 < rows && y1 < cols) diff[x2 + 1][y1] -= a;
        if (x1 < rows && y2 + 1 < cols) diff[x1][y2 + 1] -= a;
        if (x2 + 1 < rows && y2 + 1 < cols) diff[x2 + 1][y2 + 1] += a;
    } 
}

int** build2DPrefixSumArray(int** matrix, int rows, int cols) {
    // 分配内存来存储前缀和数组
    int** prefixSum = new int*[rows];
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        prefixSum[i] = new int[cols];
    }
 
    // 初始化前缀和数组
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            prefixSum[i][j] = 0;
        }
    }
 
    // 计算第一行的前缀和
    for (int j = 1; j < cols; j++) {
        prefixSum[1][j] = matrix[1][j]+prefixSum[1][j-1];
    }
 
    // 计算第一列的前缀和
    for (int i = 2; i < rows; i++) {
        prefixSum[i][1] = prefixSum[i - 1][1] + matrix[i][1];
    }
 
    // 计算其他位置的前缀和
    for (int i = 2; i < rows; i++) {
        for (int j = 2; j < cols; j++) {
            prefixSum[i][j] = matrix[i][j] + prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] - prefixSum[i - 1][j - 1];
        }
    }
 
    return prefixSum;
}

int main()
{
    int n,q;cin>>n>>q;
    int** origin=new int*[n+1];
    for(int i=0;i<n+1;i++)
    {
        origin[i]=new int[n+1];
        fill(origin[i],origin[i]+n+1,0);
    }
    int** diff=computeDifferenceArray(origin,n+1,n+1);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        updateDiffArray(diff,x1,y1,x2,y2,1,n+1,n+1);
    }
    int** ans=build2DPrefixSumArray(diff,n+1,n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        cout<<ans[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}