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奇异值是什么？
1 奇异值的定义
对于任意一个 m × n m \times n m×n 的矩阵 A A A，存在三个矩阵 U U U， V V V和 Σ \Sigma Σ使得：
A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT
其中：
- U ∈ R m × m U \in R^{m\times m} U∈Rm×m 称为左奇异矩阵
- V ∈ R n × n V \in R^{n\times n} V∈Rn×n 称为右奇异矩阵
- Σ ∈ R m × n \Sigma \in R^{m\times n} Σ∈Rm×n 是对角矩阵，对角线的元素是非负实数，按降序排列，这些值称为奇异值。
U U U 和 V V V 均为单位正交阵（即 U U T = I UU^T=I UUT=I 和 V V T = I VV^T=I VVT=I ）。
2 奇异值的性质
1、非负性 ：奇异值始终为非负数，即对角矩阵 Σ \Sigma Σ的对角元素均为非负。
2、奇异值的数量 ：对于一个 m × n m \times n m×n 的矩阵 A A A，最多有 m i n ( m , n ) min(m,n) min(m,n)个奇异值。
3、矩阵的秩 ：矩阵 A A A 的秩等于其非零奇异值的数量。
4、不变性：奇异值是矩阵的固有属性，与矩阵的旋转或变换无关。
3 特征值与奇异值的关系
奇异值与特征值都描述了一个矩阵的一些特征。
矩阵乘法的几何意义
矩阵乘法对应一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度的新向量，在这个过程中，原向量主要发生旋转 、伸缩的变化。
- 特征值 ：如果存在向量 v v v，使得 A v = λ v Av=\lambda v Av=λv，则 λ \lambda λ 是矩阵 A A A 的特征值 ， v v v 是对应的特征向量 。
- 特征值分解： A = Q Σ Q − 1 A=Q\Sigma Q^{-1} A=QΣQ−1
- Q Q Q是矩阵A的特征向量组成的矩阵， Σ \Sigma Σ为对角阵，每一个对角线元素就是一个特征值。
- 特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。
- 特征值分解： A = Q Σ Q − 1 A=Q\Sigma Q^{-1} A=QΣQ−1
- 局限 ：矩阵A必须是方阵。
特征值与特征向量的几何意义
如果矩阵对某些向量只发生伸缩变换，不产生旋转效果 ，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量 ，伸缩的比例就是特征值 。
例如：M = [ 3 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 3&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} [3001]，对应的线性变换是如下形式，因为M乘以一个向量 ( x , y ) (x,y) (x,y)的结果是 [ 3 0 0 1 ] [ x y ] = [ 3 x y ] \begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3x\\y\end{bmatrix} [3001][xy]=[3xy].
- 奇异值 ：如果存在单位正交矩阵 U U U 和 V V V，使得 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT，其中 Σ \Sigma Σ为对角矩阵，对角线上的值被称为奇异值 ， U U U 和 V V V 分别被称为左奇异矩阵和右奇异矩阵。
- 可以描述普通矩阵(不一定是方阵)的重要特征。
- 与特征值的对应关系：
- ( A T A ) v i = λ i v i (A^TA)v_i = \lambda_i v_i (ATA)vi=λivi ，这里V就是右奇异向量。
- σ i = λ i \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} σi=λi
- u i = 1 σ i A v i u_i = \frac{1}{\sigma_i} Av_i ui=σi1Avi ，这里U就是左奇异向量。
- 奇异值跟特征值类似，但其减少的特别快，很多情况下，前10%甚至前1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。
形象理解
对于矩阵 A = [ 1 1 3 1 3 1 ] A = \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}&1 \end{bmatrix} A=[131311]，单位圆被变换为椭圆，特征向量 是所有向量中经过变换(A)后，方向不变的向量。
但是，特征向量不变的方向并不能保证是拉伸效果最大的方向 ，而这是奇异值向量的方向 。单位圆变换为椭圆，奇异向量对应椭圆的半长轴，不同于特征值方向。
也就是说，
- 特征向量描述的是矩阵的方向不变作用的向量
- 奇异向量描述的是矩阵最大作用的方向向量
4 奇异值的重要性
奇异值的重要性在于，它们描述了矩阵 A A A在不同方向上能够拉伸(或压缩)空间的能力。
- 最大的奇异值对应着矩阵在最重要的方向上的最大拉伸效果，通常与矩阵的主要信息或能量相关联。
- 较小的奇异值可能表示噪声或数据中的微弱模式。
- 奇异值为零意味着在相应的方向上矩阵的作用是完全压缩的，这与矩阵的秩有关，矩阵的秩等于非零奇异值的数量。
奇异值分解
奇异值分解有广泛的应用，通过保留较大的奇异值而忽略较小的奇异值，可以在减少数据维度的同时尽量保持数据的主要结构，达到数据降维和去噪的目的。
对于 A = U Σ V T A=U\Sigma V^T A=UΣVT，可以理解为：
- V T V^T VT：旋转（正交矩阵）
- Σ \Sigma Σ：缩放或拉伸（对角矩阵）
- U U U：旋转（正交矩阵）
也就是说，任何矩阵变换总可以看成旋转+缩放或拉伸+旋转的过程。那么对于拉伸效果最大的判断，就取决于 Σ \Sigma Σ矩阵中最大的奇异值。
关于具体的SVD证明及求法，可参考奇异值分解（SVD）的定义、证明、求法.